Машинное представление целых чисел

Правила выполнения арифметических действий над двоичными числами задаются таблицами двоичного сложения, вычитания и умножения, соответственно.

Таблица 2.1

Таблица сложения	Таблица вычитания	Таблица умножения
0+0=0 0+1=1 1+0=1 1+1=10	0–0=0 1–0=1 1–1=0 10–1=1	0 0=0 0 1=0 1 0=0 1 1=1

При сложении двоичных чисел в каждом разряде производится сложение цифр слагаемых и перенос из соседнего младшего разряда, если он имеется. При этом необходимо учитывать, что 1+1 дают нуль в данном разряде и единицу переноса в следующий.

При вычитании двоичных чисел в данном разряде при необходимости занимается единица из старшего разряда. Эта занимаемая единица равна двум единицам данного разряда.

Умножение двоичных чисел производится по тем же правилам, что и для десятичных с помощью таблиц двоичного умножения и сложения.

Деление двоичных чисел производится по тем же правилам, что и для десятичных чисел. При этом используются таблицы двоичного умножения и вычитания.

Пример: Вычислить X+Y. Вычислить X–Y.

X= 1101 X = 10010

Y= 101Y = – 101

X+Y= 10010 X-Y = 1101

Вычислить X Y. Вычислить X: Y.

110001.1
– 1001	101.1

– 1001
– 1001

X= 1001

Y= 101

1001

X Y= 101101

В ЭВМ в целях упрощения электронных схем для выполнения арифметических операций с целыми числами применяют специальное кодирование для представления целых чисел. Использование кодов позволяет свести операцию вычитания чисел к арифметическому сложению кодов этих чисел. Применяются прямой, обратный и дополнительный коды целых чисел. Прямой код используется для представления отрицательных чисел в запоминающем устройстве ЭВМ, а также при умножении и делении. Обратный и дополнительный коды используются для замены операции вычитания операцией сложения, что упрощает устройство арифметического блока ЭВМ.

Прямой код. Прямой код двоичного целого числа совпадает по изображению с записью самого числа в двоичном виде. Число до полного машинного слова слева дополняется нулями. Значение знакового разряда (крайне левого) для положительных чисел равно 0, а для отрицательных чисел 1.

Обратный код. Обратный код для положительного числа совпадает с прямым кодом. Для отрицательного числа все цифры числа инвертируются (заменяются на противоположные - 1 на 0, 0 на 1), кроме знакового разряда.

Дополнительный код. Дополнительный код положительного числа совпадает с прямым кодом. Для отрицательного числа дополнительный код образуется путем получения обратного кода и добавлением к младшему разряду единицы. Пример (для наглядности выделен знаковый разряд):

Число +1101: прямой код обратный код дополнительный код

0|0001101 0|0001101 0|0001101

Число –1101: прямой код обратный код дополнительный код

1|0001101 1|1110010 1|1110011

При сложении чисел в дополнительном коде единица переноса, которая может возникнуть в знаковом разряде, отбрасывается. При сложении чисел в обратном коде единица переноса в знаковом разряде прибавляется к младшему разряду суммы кодов.

Если результат арифметических действий является кодом отрицательного числа, необходимо преобразовать его в прямой код. При этом обратный код преобразуется в прямой заменой цифр во всех разрядах, кроме знакового, на противоположные. Дополнительный код преобразуется в прямой так же, как и обратный, с последующим прибавлением единицы к младшему разряду.

Пример. Сложить X и Y в обратном и дополнительном кодах.

1) X= 111, Y= –11;

Сначала воспользуемся правилами двоичной арифметики: X–Y= 100

Воспользуемся кодами:

Прямой код	Сложение в обратном коде	Сложение в дополнительном коде
X_пр=0\|0000111 Y_пр=1\|0000011	X_обр= 0\|0000111 Y_обр= 1\|1111100 1 0\|0000011 +1 (X+Y)_обр= 0\|0000100	X_доп= 0\|0000111 Y_доп= 1\|1111101 1) 0\|0000100 (X+Y)_доп= 0\|0000100

Так как результат сложения является кодом положительного числа (знак 0), то (X+Y)_обр= (X+Y)_доп= (X+Y)_пр.

2) X= –101, Y= –11;

Сначала сложим числа по обычным правилами: X –Y = –1011;

Далее сложим числа, используя коды

Прямой код	Сложение в обратном коде	Сложение в дополнительном коде
X_пр=1\|0000101 Y_пр=1\|0000110	X_обр= 1\|1111010 Y_обр= 1\|1111001 1 1\|1110011 +1 (X+Y)_обр= 1\|1110100	X_доп= 1\|1111011 Y_доп= 1\|1111010 1) 1\|1110101 (X+Y)_доп= 1\|1110101

Так как сумма является кодом отрицательного числа (знак 1) то необходимо перевести результаты в прямой код:

1) из обратного кода (X+Y)_обр=1|1110100 (X+Y)_пр=1|0001011;

2) из дополнительного кода (X+Y)_доп= 1|1110101 (X+Y)_пр= 1|0001011.

Таким образом, X+Y= –1011 и полученный результат совпадает с обычной записью.

Задание

1. Перевести числа в десятичную систему счисления.

2. Перевести числа из десятичной системы счисления.

3. Заданы двоичные числа X и Y. Вычислить X+Y и X–Y.

4. Записать число в прямом, обратном и дополнительном кодах

5. Перевести X и Y в прямой, обратный и дополнительный коды. Сложить их в обратном и дополнительном кодах. Результат перевести в прямой код. Проверить полученный результат, пользуясь правилами двоичной арифметики.

Контрольные вопросы

1. Почему в вычислительных системах используется двоичное представление данных?

2. Какая модель оперативной памяти называется «плоской»?

3. Что такое позиционная система счисления?

4. С какой целью используется «дополнительный код»?

Варианты заданий к лабораторной работе

№1

1) ; ; 2) с.с; 3) X= , Y= . 4) 11010 5) X= –11010; Y= 1001111,