Тригонометрическая и показательная формы записи




Комплексные числа и многочлены

 

Комплексные числа в алгебраической форме

Определение 1. Комплексным числом называется выражение

 

, (1)

 

где и – действительные числа, – так называемая мнимая единица, определяемая равенством

 

или . (2)

 

Действительные числа и обозначаются , и называются соответственно действительной и мнимой частями комплексного числа . Если , то число называется чисто мнимым, если , то число является действительным. Таким образом, множество действительных чисел R есть подмножество множества комплексных чисел C.

Комплексное число называется сопряжённым комплексному числу . Сопряжённые комплексные числа отличаются только знаком мнимой части: .

Т.к. , то числа и являются взаимно сопряжёнными.

Пример 1. , , , ;

, , , ;

, , , ;

, , , .

Определение 2. Два комплексных числа равны тогда и только тогда, когда равны их действительные и мнимые части.

Комплексное число равно нулю тогда и только тогда, когда и .

Запись комплексного числа в виде (1) называется алгебраической формой записи.

Сложение, вычитание, умножение и деление комплексных чисел в алгебраической форме выполняются по обычным правилам алгебры с учётом соотношения (2). Результат действия также должен быть записан в алгебраической форме.

Пусть и , тогда

 

, (3)

 

, (4)

 

, (5)

 

в частности,

 

. (6)

 

Чтобы разделить на (при условии, что , т.е. ), делимое и делитель умножаются на число , сопряжённое делителю:

 

.

 

Пример 2. Выполним умножение и деление чисел примера 1:

 

;

;

;

.

 

При выполнении алгебраических действий следует учитывать, что , , и так далее. Вообще, при любом целом n

 

, , , . (7)

 

Геометрическое изображение комплексного числа.

Тригонометрическая и показательная формы записи

 

Каждое комплексное число можно изобразить точкой с координатами и на плоскости с прямоугольной системой координат. Обратно, каждой точке этой плоскости соответствует комплексное число . Плоскость, на которой изображаются комплексные числа, называется плоскостью комплексной переменной или, кратко, комплексной плоскостью. Ось комплексной плоскости называется действительной осью, так как её точкам соответствуют действительные числа. Точкам оси соответствуют чисто мнимые числа, поэтому она называется мнимой осью. Взаимно сопряжённые комплексные числа и изображаются точками, симметричными относительно действительной оси.

Комплексное число можно также изображать вектором – радиус-вектором точки , или любым равным ему вектором.

Если ввести на комплексной плоскости полярную систему координат , совместив её с прямоугольной системой , то , , и число представляется в виде

 

, (8)

 

называемым тригонометрической формой записи комплексного числа . Величины и обозначаются , и называются соответственно модулем и аргументом комплексного числа .

Модуль числа геометрически представляет собой расстояние от начала координат до точки (длину её радиус-вектора):

 

, (9)

 

при этом . Из соотношений (6) и (9) следует важное свойство:

 

. (10)

 

Аргумент комплексного числа , будучи полярным углом точки , определяется не однозначно, а с точностью до слагаемого , где – любое целое число. Чтобы аргумент определялся однозначно, его считают изменяющимся в пределах и называют тогда главным значением аргумента комплексного числа . Находить главное значение аргумента числа удобно по формуле

 

, (11)

 

выбирая из двух возможных значений угла то, которое соответствует расположению точки на комплексной плоскости.

Точка (начало координат) является единственной точкой комплексной плоскости, для которой не определён (в качестве него можно принять любой угол). Модуль числа равен нулю.

Пример 3. Запишем числа , и примера 1 в тригонометрической форме.

Для числа находим , или . Так как изображающая число точка располагается в четвёртом квадранте комплексной плоскости, то . Окончательно имеем .

У чисто мнимого числа модуль , аргумент , т.к. точка располагается на отрицательной части мнимой оси. Тригонометрическая форма числа .

Число имеет модуль , аргумент , т.к. точка лежит на отрицательной части действительной оси. Получаем, что .

Из формул (3) и (4) следует, что сложение и вычитание комплексных чисел, изображённых векторами, может производиться по геометрическим правилам сложения и вычитания векторов. При этом модуль разности двух комплексных чисел и равен расстоянию между точками и комплексной плоскости. Это означает, что уравнение окружности радиуса с центром в точке записывается в виде .

Если по правилам алгебраических действий умножить (разделить) комплексное число на число и использовать формулы косинуса и синуса суммы (разности) двух углов, то получим правило умножения (деления) комплексных чисел в тригонометрической форме, заключающееся в том, что при умножении (делении) комплексных чисел их модули перемножаются (делятся), а аргументы складываются (вычитаются):

 

, (12)

 

. (13)

 

Пример 4. Найдём произведение и частное чисел и , заданных в тригонометрической форме (пример 3). Имеем

 

=

,

.

 

Следствием правила умножения является формула Муавра возведения комплексного числа в целую положительную степень :

 

. (14)

 

Корнем -ой степени из комплексного числа называется комплексное число , являющееся решением уравнения и обозначаемое . Пусть и . Так как у равных комплексных чисел модули равны, а аргументы могут отличаться на число, кратное , то , , где – любое целое число. Отсюда следует формула извлечения корня:

 

, , (15)

 

в которой – арифметическое значение корня из положительного числа . Значения , отличающиеся от приведённых в (15), дают повторяющиеся значения корня. Таким образом, корень -ой степени из комплексного числа имеет различных значений.

На множестве комплексных чисел имеет место формула Эйлера

 

, (16)

 

обосновать которую можно с помощью теории степенных рядов (см.). Применяя (16) к тригонометрической записи комплексного числа (8), получаем показательную форму записи комплексного числа

 

, (17)

 

в которой , .

Пример 5. Для чисел , и примера 3

 

, , .

 

 



Поделиться:




Поиск по сайту

©2015-2024 poisk-ru.ru
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.
Дата создания страницы: 2016-08-20 Нарушение авторских прав и Нарушение персональных данных


Поиск по сайту: