Действия с комплексными числами

Понятие Комплесного числа.

В школьном курсе математики понятие числа постепенно расширяется. Сначала речь идет только о натуральных числах, затем последовательно появляются целые, рациональные и, наконец, действительные числа. В этой лекции понятие числа будет еще раз расширено: будут введены так называемые комплексные числа, включающие в себя действительные числа как весьма частный случай. В лекции рассматриваются операции над комплексными числами в алгебраической и тригонометрической форме. Более глубокое изучение комплексных чисел выходит за рамки нашего курса. Одной из причин расширения понятия числа является потребность в решении уравнений. В множестве натуральных чисел N неразрешимо даже такое простейшее уравнение, как x + 1 = 0, в множестве целых чисел Z — уравнение 2x = 1, в множестве рациональных чисел Q — уравнение x 2 = 2. В множестве действительных чисел R все эти уравнения имеют решение, но остается неразрешимым такое простое уравнение, как, например, x 2 + 1 = 0. Как мы увидим в этой лекции, в множестве комплексных чисел C это уравнение разрешимо. Более того, как мы узнаем в следующей лекции, в множестве C разрешимо любое алгебраическое уравнение с одним неизвестным.

Комплексное число имеет вид a + bi; здесь a и b – действительные числа, а i – число нового рода, называемое мнимой единицей.

Действительное число a назовем абсциссой комплексного числа a + bi; действительное число b – ординатой комплексного числа a + bi. Основное свойство числа i состоит в том, что произведение i*i равно –1, т.е.

i²= -1. (1)

Действительное число а записывается также в виде a + 0i (или a – 0i).

Геометрическое изображение комплексных чисел

Выбираем на плоскости прямоугольную систему координат с одним и тем же масштабом на обеих осях (рис. 1). Комплексное число a + bi изображаем точкой М, у которой абсцисса х равна абсциссе а комплексного, а ордината у равна ординате b комплексного числа.

Примеры. На рис. 2 точка А с абсциссой х=3 и ординатой у=5 изображает комплексное число 3 + 5i. Точка В (-4,-5) изображает комплексное число –4 - 5i.

Действительные числа (в комплексной форме они имеют вид a + 0i) изображают точками оси OХ, а чисто мнимые – точками оси OУ.

Примеры. Точка К на рис. 2 изображает действительное число 5, точка L – чисто мнимое число 3i. Начало координат изображает число 0.

Сопряжённые комплексные числа изображаются парой точек, симметричных относительно оси абсцисс; так, точки А и А’ на рис. 2 изображают сопряжённые числа 3 +5i и 3 -5i.

Комплексные можно изображать также отрезками, начинающимися в точке О и оканчивающимися в соответствующей точке числовой плоскости. Так, комплексное число a + bi можно изобразить не только точкой M (рис. 1), но также вектором ОM.

Действия с комплексными числами

Сложение комплексных чисел

Определение Суммой двух комплексных чисел и называется комплексное число .

Числа и называются сопряженными. Их сумма равна действительному числу 2 а, .

Числа и называются противоположными. Их сумма равна нулю.

Комплексные числа равны, если равны их действительные части и коэффициенты мнимых частей: , если .

Комплексное число равно нулю тогда, когда его действительная часть и коэффициент мнимой части равны нулю, т. е. , если , . Действительные числа являются частным случаем комплексных чисел. Если , то – действительное число.

Если , , то – чисто мнимое число. Для комплексных чисел справедливы переместительный и сочетательный законы сложения. Их справедливость следует из того, что сложение комплексных чисел по существу сводится к сложению действительных частей и коэффициентов мнимых частей, а они являются действительными числами, для которых справедливы указанные законы.

Вычитание комплексных чисел определяется как действие, обратное сложению: разностью двух комплексных чисел и называется комплексное число , которое в сумме с вычитаемым дает уменьшаемое. Отсюда, исходя из определения сложения и равенства комплексных чисел, получим два уравнения, из которых найдем, что , .

Значит,

Пример 1. (-3 + 5i) + (4 – 8i) = 1 - 3i

Пример 2. (2 + 0i) + (7 + 0i) = 9 + 0i. Так как запись 2 + 0i означает то же, что и 2 и т. д., то наполненное действие согласуется с обычной арифметикой (2 + 7=9).

Пример 3. (0 + 2i) + (0 + 5i) = 0 + 7i, т. е. 2i + 5i = 7i

Пример 4. (-2 + 3i) + (- 2 – 3i) = - 4

В примере 4 сумма двух комплексных чисел равна действительному числу. Два комплексных числа a+bi и a-bi называются сопряженными. Сумма сопряженных комплексных чисел равна действительному числу.

Вычитание комплексных чисел.

Определение. Разностью комплексных чисел a + bi (уменьшаемое) и c + di (вычитаемое) называется комплексное число (a – c) + (b – d)i.

Пример 1. (-5 + 2i) – (3 – 5i) = -8 + 7i

Пример 2. (3 + 2i) – (-3 + 2i) = 6 + 0i = 6

Умножение комплексных чисел.

Определение. Произведение комплексных чисел и называется комплексное число

Легко проверить, что умножение комплексных чисел можно выполнять как умножение многочленов с заменой i ² на –1. Для умножения комплексных чисел также справедливы переместительный и сочетательный законы, а также распределительный закон умножения по отношению к сложению.

Из определения умножения получим, что произведение сопряженных комплексных чисел равно действительному положительному числу: .

Замечание. На практике нет нужды пользоваться формулой произведения. Можно перемножить данные числа, как двучлены, а затем положить, что i² = -1.

Пример 1. (1 – 2i)(3 + 2i) = 3 – 6i + 2i – 4i² = 3 – 6i + 2i + 4 = 7 – 4i.

Пример 2. (a + bi)(a – bi) = a² + b²

Деление комплексных чисел.

Деление комплексных чисел, кроме деления на нуль, определяется как действие, обратное умножению. Конкретное правило деления получим, записав частное в виде дроби и умножив числитель и знаменатель этой дроби на число, сопряженное со знаменателем: