Краткие теоретические сведения

Лабораторная работа №4. «Исследование переходных процессов в линейных электрических цепях ВТОРОГО порядка»

Цель работы: снятие переходных и импульсных характеристик простейших электрических цепей и сопоставление результатов эксперимента с результатами расчета.2.1. Краткие теоретические сведения

Краткие теоретические сведения

В отличие от рассмотренных в лабораторной работе №3 линейных электрических цепей первого порядка, переходные процессы в цепях второго порядка описываются линейными дифференциальными уравнениями второго порядка. Общий вид таких уравнений:

, (4.1)

где - реакция электрической цепи, а - функция, определяемая задающими токами и ЭДС источников, действующих на цепь. Коэффициенты и носят названия коэффициента затухания и частоты незатухающих колебаний. Главной особенностью переходных процессов в линейных электрических цепях второго порядка является зависимость типа переходного процесса от соотношения между введенными коэффициентами, и . Различают три типа переходных процессов: апериодический, критический и колебательный. Вид свободной составляющей реакции определяется, как и в случае линейных электрических цепей первого порядка, корнями характеристического уравнения, которое в данном случае имеет вид:

. (4.2)

Вид корней этого уравнения определяется его дискриминантом.

1. Если дискриминант характеристического уравнения положителен, а это соответствует неравенству , то корни этого уравнения оказываются вещественными, разными, отрицательными. Свободная составляющая реакции цепи в этом случае определяется выражением:

, (4.3)

где . Говорят, что переходной процесс в этом случае носит апериодический характер.

2. Если дискриминант характеристического уравнения равен нулю, что выполняется при , то корни характеристического уравнения оказываются вещественными, одинаковыми, отрицательными. В этом случае свободная составляющая может быть записана в виде:

, (4.4)

где . Характер переходного процесса в этом случае - критический.

3. Если дискриминант характеристического уравнения отрицателен, что возможно только при , то корни характеристического уравнения оказываются комплексно сопряженными с отрицательной вещественной частью. Общий вид свободной составляющей реакции цепи в этом случае такой же, как и для апериодического переходного процесса:

, (4.5)

где [1]. Тип переходного процесса в этом случае – колебательный.

Однако, это не единственная форма представления свободной составляющей реакции для колебательного переходного процесса. Выражение (4.5) может быть также сведено к тригонометрической форме[2]:

(4.6)

где введено обозначение .

Из выражения (4.6) непосредственно виден физический смысл введенных коэффициентов. Коэффициент есть ни что иное, как относительная скорость уменьшения амплитуды колебаний. Величина описывает частоту затухающих колебаний. Если , то , а значит, имеет смысл частоты незатухающих колебаний.

Помимо введенного коэффициента затухания изменение амплитуды колебаний можно характеризовать так называемыми линейным и логарифмическим декрементами затухания и . Физический смысл этих величин можно пояснить с помощью рис. 4.1, иллюстрирующего свободную составляющую реакции электрической цепи в колебательном переходном процессе.

Рис. 4.1

Под линейным декрементом затухания понимают отношение двух амплитуд свободных колебаний, отстоящих друг от друга по времени на величину периода затухающих колебаний :

. (4.7)

Из выражения (4.6) видно, что:

Логарифмический декремент связан с линейным декрементом затухания выражением:

. (4.8)

Простейшей цепью второго порядка является последовательное соединение источника ЭДС, сопротивления, индуктивности и емкости, известное как последовательный колебательный контур. Важнейшей характеристикой такой цепи является добротность , определяемая как отношение энергии, запасаемой в системе к энергии потерь в ней за период колебаний, умноженной на . Эта величина также связана с затуханием колебаний и может быть оценена по графику свободной составляющей реакции цепи как число полных различимых колебаний.

Из выражений (4.4)-(4.7) видно, что отыскание реакции цепи сопровождается определением двух констант интегрирования ( или ). Это возможно, если известны два начальных условия, в качестве которых принято выбирать значение реакции и ее производной в момент времени .

Рассмотрим различные типы переходных процессов на конкретных примерах.

Пример 1

Рассмотрим переходный процесс в линейной электрической цепи второго порядка, вызванный подключением источника постоянной ЭДС к последовательно соединенным сопротивлению, индуктивности и ёмкости (рис. 4.2), выбрав в качестве реакции напряжение на емкости.

Рис. 4.2

Рассмотрим переходной процесс в цепи, составив дифференциальное уравнение для искомой реакции. Поскольку цепь не содержит узлов, а представляет собой контур, то достаточно составить одно уравнение по второму закону Кирхгофа, дополнив его компонентными соотношениями:

(4.9)

Подставим и в первое уравнение. Получим:

(4.10)

Подстановка в первое уравнение с последующим его делением почленно на приводит к дифференциальному уравнению вида:

. (4.11)

Введем обозначения:

, .

Пусть , , , . Тогда:

, .

Поскольку , то переходной процесс носит апериодический характер и свободная составляющая реакции запишется в виде:

, (4.12)

где:

Вынужденную составляющую реакции определим, исключив обе производные из дифференциального уравнения (4.11):

. (4.13)

Тогда общее решение уравнения (4.11) имеет вид:

. (4.14)

Найдем независимые и зависимые начальные условия. В момент времени источник ЭДС был отключен от цепи и, следовательно:

, .

Согласно законам коммутации:

, .

Поскольку , то и .

Определим константы интегрирования и исходя из начальных условий для и . С этой целью запишем общее выражение для тока , воспользовавшись уравнение (4.13) и вторым уравнением исходной системы (4.9):

. (4.15)

Подставляя начальные условия в (4.14) и (4.15) получим следующую систему для определения и :

(4.16)

Выразим из первого уравнения и подставим его во второе. Получим:

, .

Следовательно:

, . (4.17)

С учетом найденных констант интегрирования искомая реакция принимает вид:

. (4.18)

На рис. 4.3 представлен график зависимости найденной реакции от времени:

Рис. 4.3

Пример 2

Рассмотрим переходной процесс в линейной электрической цепи второго порядка, вызванный подключением ветви, содержащей емкость (рис. 4.4). Выберем в качестве реакции ток, протекающий через емкость. Однако задачу проще решить, если сначала найти выражение, описывающее изменение напряжения на емкости, а затем воспользоваться компонентным соотношением.

Рис. 4.4

Данная цепь содержит два узла и три ветви. Следовательно, по первому закону Кирхгофа достаточно составить одно уравнение и по второму закону Кирхгофа – два уравнения[3]. Дополним эти уравнения компонентными соотношениями. Полученная система уравнений имеет вид:

(4.19)

Сведем данную систему уравнений к дифференциальному уравнению для напряжения на емкости. С этой целью подставим , и во второе и третье уравнения. Получим:

(4.20)

Выразим из первого уравнения и подставим во второе. Получим систему из трех уравнений вида:

(4.21)

Следующим шагом исключим из системы . Для этого выразим его из второго уравнения и подставим в первое. Получим:

(4.22)

Подставим в первое уравнение, приведем подобные и разделим все уравнение на . Получим:

. (4.23)

Введем принятые выше обозначения:

Пусть , , , , . Тогда:

Поскольку , то характер переходного процесса – критический. Значит, свободная составляющая напряжения на емкости равна:

, (4.24)

где:

Вынужденную составляющую напряжения на емкости найдем, исключив обе производные из дифференциального уравнения (4.23):

. (4.25)

Тогда общее решение уравнения (4.23) имеет вид:

. (4.26)

Для определения констант интегрирования и найдем зависимые и независимые начальные условия. Рассмотрим цепь в момент времени , предшествующий замыканию ключа (рис. 4.5).

Рис. 4.5

Согласно второму закону Кирхгофа для данной цепи:

Следовательно:

Поскольку емкость была отключена от цепи, то напряжение на ней равнялось нулю:

Согласно законам коммутации:

, .

Рассмотрим цепь в момент времени , следующий сразу за замыканием ключа, и определим зависимое начальное условие (рис. 4.6).

Рис. 4.6

Поскольку сопротивление в данной схеме оказывается закороченным, то напряжение на нем равно нулю, а значит, согласно закону Ома, и ток . Следовательно, так как разветвления тока источника не происходит, то:

Запишем общее выражение для тока , воспользовавшись (4.26) и компонентным соотношением для емкости:

(4.27)

Подстановка найденных начальных условий в (4.26) и (4.27) дает следующую систему уравнений для нахождения и :

(4.28)

Решая эту систему, находи, что:

Тогда напряжение на емкости и ток, протекающий через нее, имеют вид:

, (4.29)

. (4.30)

На рис. 4.7 представлен график изменения тока со временем.

Рис. 4.7

Пример 3

Рассмотрим переходный процесс в линейной электрической цепи второго порядка, вызванный подключение ветви, содержащей сопротивление и емкость (рис. 4.8), выбрав в качестве реакции ток , протекающий через индуктивность.

Рис. 4.8

Поскольку цепь содержит два узла и три ветви, то для описания протекающих в ней процессов необходимо записать одно уравнение по первому закону Кирхгофа и два – по второму. Однако один из токов ветвей является задающим током источника и считается известным. Следовательно, по второму закону Кирхгофа будет составлено лишь одно уравнение. Дополним систему компонентными соотношениями. Получим:

(4.31)

Сведем систему (4.31) к дифференциальному уравнению для тока . С этой целью подставим выражения для , и во второе уравнение системы. Получим:

(4.32)

Выразим ток из первого уравнения и подставим во второе и третье:

(4.33)

Выразим из первого уравнения и подставим во второе. После приведения подобных и деления всего уравнения почленно на получим:

. (4.34)

Введем обозначения:

Пусть , , , , . Тогда:

Поскольку , то характер переходного процесса – колебательный. Значит свободная составляющая тока, протекающего через индуктивность равна:

, (4.35)

Вынужденную составляющую тока, протекающего через индуктивность , найдем, исключив обе производные из дифференциального уравнения (4.34):

. (4.36)

Тогда общее решение уравнения (4.34) имеет вид:

. (4.37)

Для определения констант интегрирования и найдем зависимые и независимые начальные условия. Рассмотрим цепь в момент времени , предшествующий замыканию ключа (рис. 4.9).

Рис. 4.9

Поскольку цепь одноконтурная, то элементы соединены последовательно и во всей цепи протекает один и тот же ток, равный задающему току источника:

Поскольку до замыкания ключа емкость была отключена, то напряжение на ней:

Тогда согласно законам коммутации:

, .

Рассмотрим цепь в момент времени , следующий сразу за замыканием ключа, и определим зависимое начальное условие (рис. 4.10).

Рис. 4.10

Поскольку в цепи действует два источника, то суммарное напряжение найдем как сумму напряжений и , отражающих реакцию цепи на действие каждого из источников в отдельности (метод наложения). Поочередное гашение источников тока приводит к цепям, изображенным на рис. 4.11.

Рис. 4.11

Для цепи на рис. 4.11, а токи и имеют одинаковое абсолютное значение, равное задающему току источника, но противоположны по направлению. Значит, второй закон Кирхгофа для этой одноконтурной цепи имеет вид:

Для цепи на рис. 4.11, б ток , а ток согласно первому закону Кирхгофа равен задающему току источника . Тогда уравнение, составленное по второму закону Кирхгофа для выбранного контура, имеет вид: