Линейной называется система, которая удовлетворяет принципу суперпозиции или наложения.

 

Сущность принципа суперпозиции: реакция системы

На сумму воздействий равна сумме реакций на

Каждое воздействии в отдельности.

Система линейна, если

Принцип суперпозиции не выполняется в нелинейной системе.

Пример:

Из принципа суперпозиции вытекает свойство линейной системы: пропорциональность.

Линейная дискретная система является инвариантной во времени, если задержка во времени входного сигнала вызывает такую же задержку выходного сигнала.

Рисунок 2. Иллюстрация принципа инвариантности

 

Рассмотрим основные характеристики линейной дискретной системы.

 

Импульсной характеристикой дискретной линейной системы называется выходной сигнал системы при действии на её входе единичного отсчёта и при нулевых начальных условиях

 

Рисунок 3 – Единичный отсчет x_n и импульсная характеристика h_n

 

Импульсная характеристика может быть конечной или бесконечной, может быть затухающей или возрастающей.

Системной (передаточной) функцией линейной дискретной системы называется отношение Z-преобразования выходного сигнала к Z-преобразованию входного сигнала при нулевых начальных условиях

где

Полюсом системной функции называется значение комплексной переменной z, при котором системная функция устремляется к бесконечности.

Нулём системной функции называется значение комплексной переменной z, при котором системная функция равна нулю.

 

Комплексным коэффициентом передачи линейной дискретной системы называется отношение комплексной амплитуды выходного синусоидального сигнала к комплексной амплитуде входного синусоидального сигнала

где амплитуды выходного и входного сигналов соответственно, начальные фазы выходного и входного сигналов соответственно.

Поэтому комплексный коэффициент передачи равен

где коэффициент передачи, равный модулю комплексного коэффициента передачи и представляющий собой отношение амплитуды выходного синусоидального сигнала к амплитуде входного синусоидального сигнала, аргумент комплексного коэффициента передачи, который показывает, какой фазовый сдвиг приобретает входной синусоидальный сигнал при прохождении через линейную дискретную систему.

Частотной характеристикой линейной дискретной системы называется зависимость комплексного коэффициента передачи от частоты

где - круговая частота, - зависимость коэффициента передачи (модуля комплексного коэффициента передачи) от частоты, - зависимость фазового сдвига, вносимого линейной дискретной системой, (аргумента комплексного коэффициента передачи) от частоты.

Зависимость коэффициента передачи от частоты называется амплитудно-частотной характеристикой (АЧХ) линейной дискретной системы.

Зависимость фазового сдвига, вносимого линейной дискретной системой от частоты называется фазочастотной характеристикой (ФЧХ).

 

2.4. Определение выходного сигнала линейной инвариантной относительно сдвига дискретной системы по входному сигналу и импульсной характеристике

 

Определение выходного сигнала линейной инвариантной относительно сдвига дискретной системы по входному сигналу и импульсной характеристике основано на определении импульсной характеристики, принципе суперпозиции, свойстве пропорциональности и инвариантности системы относительно сдвига.

Рисунок 1. Определение выходного сигнала по

входному сигналу и импульсной характеристике

В результате получим:

, , …

В общем случае

Выходной сигнал линейной инвариантной во времени дискретной системы представляет собой дискретную свертку входного сигнала и импульсной характеристики.

Графический способ нахождения дискретной свёртки двух последовательностей конечной длины: импульсной характеристики h ={1,1}, и входного сигнала x ={3, 2, 1}.

 

Рисунок 2. Графический способ определения дискретной свёртки

 

Текущий отсчет дискретной свёртки определяется с учётом взаимного расположения на рисунке двух последовательностей h_k и x_n-k как сумма произведений взаимно перекрывающихся во времени отсчётов этих последовательностей.

При конечной импульсной характеристике, содержащей N отсчётов, соотношение для дискретной свёртки преобразуется к виду

 

Рисунок 3. Структурная схема линейной дискретной системы с конечной импульсной характеристикой - графическое представление дискретной свёртки входного сигнала и импульсной характеристики

 

 

2.5. Разностное уравнение и системная функция дискретной линейной системы. Связь между системной функцией и импульсной характеристикой

 

В линейной дискретной системе текущий n – ый отсчёт выходного сигнала в общем случае связан линейными зависимостями с текущим и предыдущими отсчетами входного сигнала x_n, x_n-1, x_n-2.. и с предыдущими отсчётами выходного сигнала y_n-1, y_n-2,..

Это соотношение называется разностным уравнением линейной дискретной системы.

По характеру зависимости текущего отсчёта выходного сигнала y_n от отсчётов входного и выходного сигналов дискретные линейные системы подразделяются на рекурсивные и нерекурсивные.

Нерекурсивная система

Рекурсивная система

Нерекурсивная дискретная система является системой без обратных связей, а рекурсивная система – это система с обратными связями.

Найдём системную функцию линейной дискретной системы. Для этого, воспользовавшись свойствами прямого Z-преобразования, перейдём от разностного уравнения (2.14) к уравнению в Z-преобразованиях

Из последнего соотношения выразим Y(z) через X(z)

Разделив Y(z) на X(z), найдём системную функцию

В нерекурсивной дискретной линейной системе A_k=0 для всех значений k, поэтому системная функция выражается полиномом относительно комплексного переменного z^-1

Системная функция рекурсивной дискретной системы представляет собой дробно-рациональную функцию с полиномами относительно комплексного переменного z^-1 в числителе и знаменателе.

Отметим, что знаки перед коэффициентами A_k в выражении для системной функции и в разностном уравнении противоположны.

Чтобы найти нули системной функции, нужно полином числителя приравнять нулю и найти корни полученного уравнения.

Чтобы найти полюсы системной функции, нужно полином знаменателя приравнять нулю и найти корни полученного уравнения.

 

Пример.

Требуется определить нули и полюсы системной функции и привести карту нулей и полюсов – расположение нулей и полюсов на комплексной плоскости z

Для определения нулей найдём корни уравнения или

Для определения полюсов найдём корни уравнения или

Рисунок 1. Карта нулей и полюсов

 

Выясним, какая связь существует между системной функцией и импульсной характеристикой линейной дискретной системы.

В разделе 2.4 показано, что выходной сигнал линейной дискретной системы y_n представляет собой дискретную свёртку входного сигнала x_n и импульсной характеристики h_n

Z-преобразование дискретной свёртки равно произведению Z-преобразований исходных последовательностей

,

где .

Из определения системной функции следует, что Z-преобразование выходного сигнала равно произведению системной функции на Z-преобразование входного сигнала.

Следовательно, входящее в последнее соотношение Z-преобразование импульсной характеристики H(z) является системной функцией дискретной линейной системы.