Метод Монте-Карло: единичный жребий и его реализация. Статистическая проверка законов алгебры событий.
Цель: уяснить суть законов алгебры событий; ознакомиться с методом единичного жребия, применяемым в методе Монте-Карло для разыгрывания случайных событий; изучить некоторые функции ЭТ Excel.
Краткие теоретические сведения.
1. Алгебра событий
Суммой событий А и В называется событие S = А + В, которое состоит в наступлении хотя бы одного из них.
Произведением событий А и В называется событие D = АВ, состоящее в их совместном появлении.
Определения суммы и произведения событий распространяются на любое (конечное) число слагаемых или сомножителей.
Пример 1. Если А - появление 1 очка, В - 3 очков, С - 5 очков при одном бросании игральной кости, то S = А + В + С - появление нечётного числа очков. Если А - появление дамы, а В - появление пиковой масти при вытягивании одной карты из колоды, то D = АВ есть появление пиковой дамы.
События А и В называются несовместными, если они не могут наступить в одном и том же опыте. Ясно, что для таких событий Р(АВ) = 0.
Группа событий называется полной, если в результате опыта обязательно наступает хотя бы одно из этих событий.
Два события называются противоположными, если это несовместные события, образующие полную группу.
Пример 2. Рассмотрим в качестве опыта, приводящего к наступлению различных событий, одно бросание игральной кости. Пусть А - появление единицы, В - двойки, С - единицы, тройки или пятёрки, D - четвёрки или шестёрки. Тогда:
событие А совместно с событием С, но несовместно с событиями BиD;
события А, В, С и D в совокупности образуют полную группу, но даже если событие А исключить, группа не утратит полноты;
ни одна пара событий, выбранная из группы А, В, С, D, не является парой противоположных событий;
события С и В + D являются противоположными.
2. Вероятность суммы событий
Справедлива формула
Р(А + В) = Р(А)+Р(В)-Р(АВ). (1)
Из этого основного утверждения вытекает целый ряд очевидных следствий:
1. Если события А и В несовместны, то Р(А + В) = Р(А) + Р(В).
2. Если события А1, А2,..., Ап образуют полную группу несовместных событий, то 
3. Для двух противоположных событий 
.
4. Формулу для вероятности суммы трёх и более совместных событий
мы не рассматриваем. В этом случае гораздо проще «действовать» через противоположное событие.
Пример 3. Найти вероятность того, что при бросании двух монет хотя бы на одной из них выпадет «орёл».
1-й способ. Согласно классическому определению вероятности, получаем Р(А)=3/4, т. к. существует 4 равновозможных исхода («орёл»-«орёл», «орёл»-«решка», «решка»-«орёл» и «решка-решка»), из которых 3 исхода являются благоприятными.
2-й способ. Рассматривая событие А как сумму двух событий («орёл» на первой монете, «орёл» на второй монете), по формуле (1) для вероятности суммы получаем Р(А) =1/2+1/2-1/4=3/4, где вероятность произведения событий (т. е. вероятность события «орёл»-«орёл») найдена по классическому определению.
3. Зависимость событий. Вероятность произведения событий
Условной вероятностью Р(А/В) называется вероятность события А, вычисленная при условии, что событие В произошло. Событие А называется зависимым от события В, если Р(А/В)≠Р(А). Зависимость событий всегда взаимна, т. е. если А зависит от события В, то и В зависит от события А
Вероятность произведения двух событий определяется формулой
Р(АВ) = Р(А)Р(В / А). (2)
Для независимых событий
Р(АВ) = Р(А)Р(В). (3)
Пример 3 можно решить ещё одним (уже третьим) способом. Если А - появление хотя бы одного «орла», то противоположное событие 
- появление
«решек» на обеих брошенных монетах. Найдём Р()=1/2*1/2=1/4 как вероятность произведения независимых событий (3). Тогда
Р(А)=1-Р()=3/4.
Пример 4. Студент сдаёт два экзамена: физику и математику. Он оценивает свои шансы получить «отлично» по физике как 1 против 3, «отлично» по математике как 1 против 2. Каковы шансы студента получить хотя бы одну оценку «отлично» на двух экзаменах?
Введём вероятности отличной сдачи экзаменов по физике Р(А1)=1/4 и по математике Р(А2)=1/3. Как и в примере 3, здесь возможны разные способы решения.
1. По формуле (1) с учётом (3) получим
Р(А)=Р(А 1)+Р(А 2)-Р(А 1)Р(А 2) = 1/4 +1/3 -1/12 = 1/2.
2. Через понятие противоположного события получим
Р(А)=1-(1- Р(А 1))(1- Р(А 2))=1-3/4*2/3=1/2.
4. Формула полной вероятности
Пусть событие А может произойти вместе с любым из несовместных друг с другом событий Н1, Н2,..., Нп, образующих полную группу (они называются гипотезами). Тогда вероятность события А определяется как
(4)
Пример 5. Среди театральных зрителей женщин вдвое больше, чем мужчин. Из каждых 25 мужчин 1 является дальтоником, а среди женщин это заболевание встречается в 10 раз реже. Найти вероятность того, что выбранный наугад театральный зритель - дальтоник.
Обозначим события: Н1 - зритель - мужчина; Н2 - зритель - женщина; А - зритель - дальтоник.
Тогда Р(Н1) = 1/3; Р(Н2) = 2/3; Р(А/ Н1)= 1/25; Р(А/Н2) = 1/250. Следовательно, по формуле полной вероятности
Р(А)=1/3*1/25+2/3*1/250=0,016.
5. Единичные жребии в методе Монте-Карло
В предыдущих работах мы рассматривали применение метода Монте-Карло в задачах с равновозможными исходами. Теперь рассмотрим общий подход к моделированию случайных событий и величин с помощью единичных жребиев (т. е. опытов со случайным исходом). Единичный жребий может быть реализован с помощью генерации случайного числа - значения случайной величины, равномерно распределённой на интервале от 0 до 1 (Лр1 и 2). Обозначим такое случайное число через γ. В рамках выполнения данной работы рассмотрим правила розыгрыша событий для простейшего случая, когда речь идет о двух событиях, образующих полную группу.
Пусть нам известно, что событие А имеет вероятность р. Можно условиться считать, что если γ приняло значение меньше р, то событие А произошло; при γ>р событие не произошло. Для случая двух событий процесс розыгрыша можно представить на схеме (рис.1).
Рис.1 – Схема розыгрыша двух событий
Вопрос о том, почему «граничный» случай γ=р трактуется как ненаступление события, не имеет никакого практического значения: учитывая точность компьютерного представления действительных чисел, вероятностью такого совпадения можно просто пренебречь. Во всяком случае, на результат статистического моделирования это никакого влияния не оказывает.