Уравнения конвективно-диффузионного переноса и превращения веществ (КДП и ПВ) широко используются для прогноза качества воды в водотоках, как для расчёта качества воды при постоянном или периодическом сбросе, так и при расчёте аварийных сбросов загрязняющих веществ.
Разберём частный случай, когда при постоянном во времени и по величине сбросе сточных вод в реку через некоторое время в потоке устанавливается стационарный режим распределения ингредиента в реке. В этом случае используется двухмерная стационарная модель КДП и ПВ, описываемая уравнением:
, (3.1)
с граничными условиями: при х = 0 - C (0,y) и при у = 0 - 
и при у = В - ¶ C/ ¶ y = 0,
где С – концентрация вещества, мг/л; nх – средняя скорость течения, м/с; Dy – коэффициент поперечной диффузии, м2/c; k1 – коэффициент биохимического окисления, 1/сут; F – интенсивность поступления примеси со дна или поверхности водоёма, мг/(л·с); х – продольная координата, м; y – поперечная координата, м.
Рассмотрим последовательность решения уравнений двухмерной стационарной модели КДП и ПВ с использованием системы MathCAD и создание программы для их решения.
Преобразуем уравнение (3.1) таким образом, чтобы расчёт можно было вести по непрерывной временной координате t (при этом нужно помнить, что теперь по оси Х при построении графиков будет откладываться время, однако, всегда можно сделать пересчёт на расстояние вдоль реки – L = nx×t, где L – расстояние вдоль реки):
. (3.2) 
. (3.3)
Заменив в уравнении (3.3) производные аппроксимирующими выражениями, после приведения подобных членов получим систему обыкновенных дифференциальных уравнений с конечно-разностной аппроксимацией по координате у:
. (3.4)
где j = 1, 2, 3, … n;
|
|
; 
.
где А и В – коэффициенты модели; hy - расстояние между равноотстоящими точками по пространственной координате y; Cj – концентрация загрязняющего вещества в j-м сечении, n – количество расчётных элементов по ширине реки (по координате y).
После приведения подобных членов в системе уравнений (3.4) получим систему обыкновенных дифференциальных уравнений:
…………………………………………..
…………………………………………..
, (3.5)
……………………………………………
……………………………………………
Теперь пространственная координата y представлена набором дискретно расположенных сечений. В конкретный момент времени концентрация в любом сечении выражается через концентрации в соседних сечениях. Можно варьировать числом элементов N, соответственно уменьшая или увеличивая hy. Для первого сечения принимается, что Cj-1 = Cj (где j = 1); а для n -го сечения - Cj+1 = Cj (где j = n) (рис. 3.1).
Проведём моделирование для участка реки Вуокса. Параметры реки следующие: расход Q = 216 м3/с; средняя ширина участка реки Вср. =2400 м; средняя глубина Нср .=3 м, а средняя скорость nср .=0,3 м/с. Коэффициент, характеризующий самоочищение потока, равен k = 0,25 1/сут. = 2,893·106 1/c. Фоновая концентрация вещества в реке Сф = 0,3 мг/л.
На левом берегу реки находится сосредоточенный водовыпуск, из которого производится регулярный сброс загрязняющих веществ. Концентрация сбрасываемого вещества Сст = 25 мг/л, а удельный расход водовыпуска - q = 0,322 м3/c
Вопрос 3. Система уравнений мономолекулярной и бимолекулярной модели и условия их применимости.