Задание 1
Найти интегралы методом разложения:
1. 
; 2 
3. 
; 4 
. 5. 
Задание 2
Найти объём тела вращения 1) вращение вокруг оси ох,
2) вращение вокруг оси оу, если фигура ограничена линиями у= 
а=4 и в =8
Задание 3.
1.Вычислить площадь фигуры ограниченной линиями: параболой у = х2+3,
х=-1, х=2 и осью Ох.
2. Вычислить площадь фигуры ограниченной линиями:
Параболой f(x) =4-x2, прямой g(x) = x+2 и осью ОХ
3. Вычислить площадь фигуры ограниченной линиями:
Параболой f(x) =2-x2, прямой g(x) = -x.
Вычисление интеграла методом разложения:
1. 
= 
= 
= 
= x-3ln|x+3|+c
= 
= 
= 
=
= x+7 ln|x+3|+c
3. 
= 
= 
= 
= = x-5ln|x+3|+c
4. 
= 
= 
= 
= = 
=3x - 
ln|2x+3|+c
5. 
= 
= 
= 
= =x- 
arctg 
+c
6. 
= 
= 
=
=- x - 
ln 
Объём тела вращения
Вращение вокрух оси ох
Вращение вокрух оси оу
d
y=f(x) или х= g(y)
 |
с
A b
при х=а у=с
при х=в у= d
Объём тела вращения вокруг оси оу: Vy= 
Замечание: При вычислении объёма тела при вращении вокруг оси оу для нахождения подинтегральной функции необходимо в функции у=f(x) выразить х через у. и интеграл вычислять по переменной у.
ПРИМЕР. Фигура ограничена у = 
, х=0 х=6
1) вращение вокруг оси ох
Vx= 
2) вращение вокруг оси оу:
если х=0, то у= 
=2
если х=6, то у= 
=8
у = , тогда у2 =2х+4, а значит х= 
у2- 2
Vy= 
Пример 1
Вычислить объем тела, полученного вращением фигуры, ограниченной линиями 
, 
вокруг оси 
.
Решение: Как и в задаче на нахождение площади, решение начинается с чертежа плоской фигуры. То есть, на плоскости 
необходимо построить фигуру, ограниченную линиями , , при этом не забываем, что уравнение задаёт ось ..
Чертёж здесь довольно прост:
Искомая плоская фигура заштрихована синим цветом, именно она и вращается вокруг оси В результате вращения получается такая немного яйцевидная летающая тарелка, которая симметрична относительно оси .
Как вычислить объем тела вращения?
Объем тела вращения можно вычислить по формуле:
В формуле перед интегралом обязательно присутствует число 
. Так повелось – всё, что в жизни крутится, связано с этой константой.
Как расставить пределы интегрирования «а» и «бэ», думаю, легко догадаться из выполненного чертежа.
Функция 
… что это за функция? Давайте посмотрим на чертеж. Плоская фигура ограничена графиком параболы 
сверху. Это и есть та функция, которая подразумевается в формуле.
В практических заданиях плоская фигура иногда может располагаться и ниже оси . Это ничего не меняет – подынтегральная функция в формуле возводится в квадрат: 
, таким образом интеграл всегда неотрицателен, что весьма логично.
Вычислим объем тела вращения, используя данную формулу:
Как я уже отмечала, интеграл почти всегда получается простой, главное, быть внимательным.
Ответ: 
В ответе нужно обязательно указать размерность – кубические единицы 
. То есть, в нашем теле вращения примерно 3,35 «кубиков». Почему именно кубические единицы? Потому что наиболее универсальная формулировка. Могут быть кубические сантиметры, могут быть кубические метры, могут быть кубические километры и т.д., это уж, сколько зеленых человечков ваше воображение поместит в летающую тарелку.
Пример 2
Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси фигуры, ограниченной линиями 
, , 
Это пример для самостоятельного решения.
Рассмотрим две более сложные задачи, которые тоже часто встречаются на практике.
Пример 3
Вычислить объем тела, полученного при вращении вокруг оси абсцисс фигуры, ограниченной линиями 
, 
, 
и 
Решение: Изобразим на чертеже плоскую фигуру, ограниченную линиями , , , , не забывая при этом, что уравнение задает ось 
:
Искомая фигура заштрихована синим цветом. При её вращении вокруг оси получается такой сюрреалистический бублик с четырьмя углами.
Объем тела вращения вычислим как разность объемов тел.
Сначала рассмотрим фигуру, которая обведена красным цветом. При её вращении вокруг оси получается усеченный конус. Обозначим объем этого усеченного конуса через 
.
Рассмотрим фигуру, которая обведена зеленым цветом. Если вращать данную фигуру вокруг оси , то получится тоже усеченный конус, только чуть поменьше. Обозначим его объем через 
.
И, очевидно, разность объемов 
– в точности объем нашего «бублика».
Используем стандартную формулу для нахождения объема тела вращения:
1) Фигура, обведенная красным цветом ограничена сверху прямой 
, поэтому:
2) Фигура, обведенная зеленым цветом ограничена сверху прямой , поэтому:
3) Объем искомого тела вращения: 
Ответ: 
Площадь фигуры
