Тема 18. Устойчивость равновесия деформируемых систем. Задача Эйлера. Расчеты на устойчивость

18.1. Основные понятия и определения

Под устойчивостью механической системы понимается свойство системы при любом малом отклонении от состояния равновесия стремиться к своему первоначальному равновесному состоянию и возвращаться к нему после снятия внешнего воздействия.

Если система не возвращается после снятия возмущения к своему исходному состоянию равновесия, то она называется неустойчивой.

Долго в неустойчивом состоянии система находиться не может и переходит в новое состояние, которое в данных условиях является устойчивым. Тогда говорят, что произошла потеря устойчивости системы. На рис. 18.1 для примера показаны четыре формы равновесия недеформируемой механической системы.

Рис. 18.1. Формы равновесия механической системы

Равновесное состояние деформируемой системы, например, сжатого стержня также может быть устойчивым (рис. 18.2 а), безразличным (критическим) (рис. 18.2 б) и неустойчивым (рис. 18.2 в).

Рис.18.2. Формы равновесия сжатого стержня

Устойчивость формы равновесия зависит от величины действующих нагрузок. Например, если сила, сжимающая стержень, невелика, то при малом отклонении от прямолинейной формы равновесия стержень вернется в исходное состояние после снятия нагрузок, т.е. имеет место устойчивое равновесие. Однако при некоторой сжимающей силе стержень при отклонении наряду с прямолинейной формой равновесия может принять и другую – криволинейную форму. В таком случае одной и той же сжимающей силе потенциально соответствуют два состояния равновесия и прямолинейное состояние уже считают неустойчивым.

Наименьшая нагрузка, при которой начальная (исходная) форма равновесия системы перестает быть устойчивой, называется критической. Приложение к стержню сжимающей силы или вызывает его продольный изгиб.

Возникновение продольного изгиба (ненулевого прогиба y_max)можно объяснить следующим образом. Пусть идеально прямой стержень нагружен строго центральной продольной силой (рис. 18.3). При таких предположениях прямолинейная форма стержня всегда будет являться возможной формой равновесия. Об устойчивости этой формы равновесия стержня можно судить по реакции ее на малую поперечную нагрузку , вызывающую прогиб стержня. На практике обязательно существует либо малая поперечная нагрузка, либо равносильное ей небольшое смещение сжимающей силы по отношению к центральной оси стержня (эксцентриситет нагрузки).

Рис.18.3. Продольный изгиб сжатого стержня

При небольшой силе после устранения нагрузки прогиб стержня исчезает, а при - нет, т.е. система после устранения возмущения не возвращается к исходному положению. Схематически это показано на рис.18.4, из которого видно, что при для стержня существует две возможных формы равновесия: неустойчивая прямолинейная (y_max=0) и устойчивая изогнутая. Это значит, что после достижения критической сжимающей силы стержень обязательно принимает изогнутую форму равновесия.

Потеря устойчивости, как правило, происходит внезапно, при напряжениях, существенно меньших предела прочности и сопровождается резким увеличением деформаций, приводящим обычно к разрушению конструкции. На рис. 18.4 видно, что прогиб растет нелинейно, почти без увеличения нагрузки. Поэтому при расчете сжатых элементов конструкции наряду с запасом прочности обязательно предусматривается запас устойчивости. Коэффициент запаса устойчивости вводится по формуле

,

где [ P ] — допускаемая нагрузка при расчете на устойчивость.

Рис.18.4. Рост прогиба стержня после потери устойчивости