Контрольная работа №1
Рассмотрим пространство элементарных исходов 
, состоящее из конечного числа N равновозможных результатов испытаний. Тогда вероятностью события 
называют отношение числа благоприятствующих событию А элементарных исходов 
к общему числу всех возможных элементарных исходов 
:
(1.1)
Это классическое определение вероятности.
При непосредственном вычислении вероятностей часто используют формулы комбинаторики.
Перестановками называют комбинации, состоящие из одних и тех же n различных элементов и отличающиеся только порядком их расположения. Число всех возможных перестановок из n элементов вычисляется по формуле:
(1.2)
Размещениями называют комбинации, составленные из n различных элементов по m элементов, которые отличаются либо составом элементов, либо их порядком. Число всех возможных размещений
(1.3)
Сочетаниями называют комбинации, составленные из n различных элементов по m элементов, которые отличаются хотя бы одним элементом. Число сочетаний
(1.4)
Число размещений, перестановок и сочетаний связаны равенством
(1.5)
Пример 1.1. Монета брошена 2 раза. Найти вероятность того, что хотя бы один раз появится «герб».
Решение. Пространство элементарных исходов 
состоит из 4-х элементарных исходов, т.е. 
. Событие 
состоит из 3-х элементарных исходов, т.е. 
. Поскольку все исходы равновозможны, то по классическому определению вероятности искомая вероятность 
Пример 1.2. В партии из N деталей имеется n стандартных. Наудачу отобраны m деталей. Найти вероятность того, что среди отобранных деталей ровно k стандартных.
Решение. Общее число элементарных исходов равно 
. Благоприятствующими являются исходы, когда из общего числа стандартных n взято k деталей (это можно сделать 
способами), а остальные m-k деталей взяты из N-n нестандартных деталей (выбираются 
способами). Следовательно, число благоприятствующих исходов равно 
. Следовательно, по классическому определению вероятности, вероятность интересующего нас события
Задания:
1.1 Брошены 2 игральные кости. Найти вероятность того, что а) сумма выпавших очков равна 10; б) сумма выпавших очков равна 5, а произведение 6.
1.2 В ящике имеется 12 деталей, среди которых 8 окрашенных. Наудачу извлечены 4 детали. Найти вероятность того, что все детали не окрашены.
1.3 В урне 15 шаров, среди которых 8 белых. Наудачу отобраны 7 шаров. Найти вероятность того, что среди отобранных шаров 5 белых.
1.4 Набирая номер телефона, абонент забыл последние 4 цифры и, помня лишь, что эти цифры различны, набрал их наудачу. Найти вероятность того, что набраны нужные цифры.
1.5 Определить вероятность того, что выбранное наудачу натуральное число при возведении в квадрат даст число, заканчивающееся 6-кой.
1.6 На шести одинаковых карточках напечатаны буквы а, т, м, р, с, о. По одной наудачу извлекли 4 карточки. Найти вероятность того, что из них сложено слово «трос».
1.7 Случайно выбранная кость домино оказалась не дублем. Найти вероятность того, что вторую также взятую наудачу кость домино можно приставить к первой.
1.8 В урне 10 шаров, среди которых 6 красных. Наудачу отобраны 4 шара. Найти вероятность того, что все они не красного цвета.
1.9 Устройство состоит из 8 элементов, из которых 3 изношены. Случайным образом включено 4 элемента. Найти вероятность того, что 2 из включенных элементов изношены.
1.10 Десять книг на одной полке расставлены наудачу. Определить вероятность того, что при этом три определенные книги окажутся поставленными рядом.
1.11 Участники жеребьевки тянут из ящика жетоны с номерами от 1 до 100. Найти вероятность того, что номер первого наудачу извлеченного жетона не содержит цифры 5.
1.12 В мешочке имеется 5 одинаковых кубиков. На всех гранях каждого кубика написана одна из следующих букв: о, п, р, с, т. Найти вероятность того, что на вынутых по одному и расположенных в линию кубиках появится слово «спорт».
1.13 Библиотечка состоит из 10 различных книг, причем пять книг стоят по 4 рубля каждая, три книги – по одному рублю и две книги – по 3 рубля. Найти вероятность того, что взятые наудачу две книги стоят 5 рублей.
1.14 Восемь различных книг расставляются наудачу на одной полке. Найти вероятность того, что две определенные книги окажутся поставленными рядом.
1.15 Определить вероятность того, что выбранное наудачу натуральное число при возведении в четвертую степень дает число, оканчивающееся на 6.
1.16 На полке в случайном порядке расставлено n книг, среди которых находится двухтомник одного автора. Найти вероятность того, что оба тома двухтомника расположены рядом.
1.17 Буквенный замок содержит на общей оси 5 дисков, каждый из которых разделен на 6 секторов с различными нанесенными на них буквами. Замок открывается при определенном наборе букв. Определить вероятность открытия замка, если установлена произвольная комбинация букв.
1.18 Из полного набора костей домино наудачу берется 5 костей. Найти вероятность того, что среди них не будет костей с шестеркой.
1.19 На восьми одинаковых карточках напечатаны буквы а, б, г, е, л, м, о, ь. По одной наудачу извлекли 6 карточек. Найти вероятность того, что из них сложено слово «Гомель».
1.20 Определить вероятность того, что выбранное наудачу целое число при возведении в третью степень дает число, заканчивающееся четной цифрой.
1.21 Слово «керамит» составлено из букв разрезной азбуки. Затем карточки с буквами перемешиваются и из них извлекаются по очереди 4 карточки. Какова вероятность, что эти карточки составят слово «река».
1.22 В партии из 50 деталей 5 нестандартных. Определить вероятность того, что среди выбранных наудачу для проверки 6 деталей 2 окажутся нестандартными.
1.23 На стол бросается кубик, 2 грани которого окрашены. Какова вероятность того, что кубик упадет на стол окрашенной гранью.
1.24 Из последовательности целых чисел от 1 до 10 наудачу выбираются 2 числа. Какова вероятность, что одно из низ меньше 6, а другое – больше 6.
1.25 10 книг на полке расставлены наудачу. Определить вероятность того, что при этом 3 определенных книги окажутся рядом.
1.26 Набирая номер телефона, абонент забыл последние 2 цифры и, помня лишь, что эти цифры различны, набрал их наудачу. Найти вероятность того, что набраны нужные цифры.
1.27 В партии из 10 деталей 7 стандартных. Найти вероятность того, что среди 6 взятых наудачу деталей 4 стандартных.
1.28 Библиотечка состоит из 10 различных книг, при чем 5 книг стоят по 4 рубля каждая, 3 книги – по 1 рублю и 2 книги по 3 рубля. Найти вероятность того, что взятые наудачу 2 книги стоят 6 рублей.
1.29 Слово «книга» составлено из букв разрезной азбуки. Карточки перемешиваются и извлекаются по одной по очереди. Какова вероятность того, что карточки вновь составят слово «книга»?
1.30 Найти вероятность того, что произведение двух наудачу выбранных натуральных чисел даст число, заканчивающееся на 3.
Контрольная работа №2