Практическая работа 9.
Тема «Операции над высказываниями»
Цель работы: Изучить понятие высказывания. Научиться записывать различные высказывания логическими формулами, определять значение истинности высказываний.
Ход работы:
1. Изучить теоретический материал по теме практической работы.
2. Выполнить задания практического материала.
3. Ответить на контрольные вопросы (письменно).
Теоретический материал к ПР
Понятие высказывания.
Математическая логика – это раздел математики, посвященный анализу методов рассуждений, при этом в первую очередь исследуются формы рассуждений, а не их содержание, т.е. исследуется формализация рассуждений? Это разновидность формальной логики, т.е. науки, которая изучает умозаключения с точки зрения их формального строения.
Под высказыванием понимают повествовательное предложение, которое
может быть либо истинным, либо ложным.
Примеры:
1. «Волга впадает в Каспийское море» - истинное высказывание.
2. 2 · 2=5 - ложное высказывание.
3. Х+3=7 - не является высказыванием, т.к. истинность этого равенства
зависит от значения Х.
4. «Давайте, разберемся!» - не является высказыванием.
Высказывания обозначаются большими латинскими буквами А, В, C,… или a, b,,…, х,…. Подобно тому, как из заданных чисел можно получить другие числа с помощью операций сложения, вычитания, умножения и деления, так из заданных высказываний получаются новые с помощью операций, имеющих специальные названия: конъюнкция, дизъюнкция, импликация, эквивалентность и отрицание. Эти операции означают соединение отдельных предложений связками «и», «или», «если…,то…», «тогда и только тогда, когда…» и присоединение к высказыванию частицы «не».
Операции над высказываниями.
Конъюнкцией высказываний А и В называют новое высказывание, обозначаемое А Λ В (читается «А и В»), которое истинно лишь в единственном случае, когда оба высказывания А и В истинны, и ложно во всех остальных случаях. Обозначим истинное высказывание – 1, а ложное - 0. В таблице 1 указаны значения истинности конъюнкции высказываний А и В.
Таблица 1 – Таблица истинности конъюнкции высказываний
| А | В | А Λ В |
Примеры:
1.Даны высказывания:
А: «Число 2- четное» – и
В: «Число 2-простое» – и
Тогда А Λ В: «Число 2-четное и простое» – и
2.Даны высказывания:
А: «3<12» – и
В: «12<10» – л
Тогда А Λ В: «3<12<10» – л.
Дизъюнкцией высказываний А и В называют новое высказывание, обозначаемое АVВ (читается «А или В»), которое ложно лишь в одном случае, когда оба высказывания А и В ложны, и истинно во всех остальных случаях. В таблице 2 указаны значения истинности дизъюнкции высказываний А и В.
Таблица 2 - Таблица истинности дизъюнкции высказываний
| А | В | А V В |
Примеры:
1. Даны высказывания:
А: «22 двузначное число» – и
В: «22 нечетное число» – л
Тогда А V В: «22 двузначное или нечетное число» и.
2. Дано А V В: «3 ≤ 3» - и
Тогда А: «3<3» л, В: «3=3» – и.
Вывод: Дизъюнкция нескольких высказываний истинна, если истинно хотя бы одно из этих высказываний.
Импликацией высказываний А и В называют новое высказывание, обозначаемое А →В (читается «если А, то В»), которое ложное лишь в одном случае,
когда А - истинно, а В - ложно.
В таблице 3 указаны значения истинности импликации высказываний А и В.
Таблица 3 - Таблица истинности импликации высказываний
| А | В | А→В |
Пример:
Даны высказывания:
А: «Последняя цифра числа 15 равна 5» и
В: «Число 15 делится на 5» и
Тогда А→В: «Если последняя цифра числа 15 равна 5, то число 15 делится на 5» и.
Эквивалентностью высказываний А и В называют новое высказывание, обозначаемое А↔В (читается «А тогда и только тогда, когда В»), которое истинно в том и только том случае, когда одновременно оба высказывания А и В либо истинны, либо ложны, а во всех остальных случаях – ложно.
В таблице 4 указаны значения истинности эквивалентности высказываний А и В.
Таблица 4 - Таблица истинности эквивалентности высказываний
| А | В | А↔В |
Отрицанием высказывания А называют новое высказывание обозначаемое А (читается «не А», «неверно, что А»), которое истинно, если высказывание А ложно, и ложно, если высказывание А истинно.
Отрицание обозначается ØА. В таблице 5 указаны значения истинности отрицания высказывания А.
Таблица 5 - Таблица истинности отрицания высказывания А
| А | ØА |
Пример:
Дано высказывание А: «Петя умеет говорить по-английски».
Тогда отрицание высказывания А будет высказывание:
А: «Неверно, что Петя умеет говорить по-английски».
Или же частицу «не» перенесем на такое место (чаще всего ставят перед сказуемым), чтобы получилось правильно составленное предложение «Петя не умеет говорить по-английски»
Выражение, составленное из высказываний с помощью операций отрицания, конъюнкции, дизъюнкции, импликации, эквиваленции называется логической формулой.
Пример: Представить логическими формулами следующее высказывание: «Идет дождь или снег».
Это сложное высказывание состоит из двух простых:
А: «Идет дождь»;
В: «Идет снег».
Высказывания А, В соединены связкой «или», поэтому логическая формула имеет вид: А V В.
Практический материал
Задание № 1.
Укажите, является ли предложение высказыванием, и определите, истинно оно или ложно.
Предложения:
а) Вы были в театре?
б) 10<5.
Задание № 2.
Сформулируйте отрицание высказывания. Укажите значение истинности высказывания и его отрицания.
Высказывания:
а) Число 28 не делится на число 7;
б) Все слова можно разделить на слоги.
Задание № 3.
Пусть А – высказывание «Студент Сидоров изучает информатику», В – высказывание «Студент Сидоров успевает по математической логике». Дать словесную формулировку следующих высказываний: 1) А Λ ØВ; 2) А → В.
Контрольные вопросы:
1) Что называется высказыванием? Приведите примеры высказываний.
2) Сформулируйте определение конъюнкции высказываний.
3) Сформулируйте определение дизъюнкции высказываний.
4) Сформулируйте определение импликации высказываний.
5) Сформулируйте определение эквиваленции высказываний.
6) Что называется отрицанием высказывания? Приведите пример.
7) Что называется логической формулой?