Пересечение плоскости с поверхностью

При пересечении поверхности (призмы, пирамиды, цилиндра, конуса, сферы) плоскостью получают плоскую фигуру, которую называют сечением. Линия пересечения поверхности с плоскостью имеет вид плоской линии (ло- маной или кривой), принадлежащей секущей плоскости и пересекаемой по- верхности. Проекции этой плоской линии строят по отдельным точкам.

Сначала строят опорные точки, лежащие на контурных линиях поверх- ности, а также точки на ребрах и линиях основания поверхности. Если эти

точки не определяют полностью проекции линии сечения, то строят проме- жуточные точки между опорными точками. Если секущая плоскость являет- ся проецирующей, то одна проекция линии сечения совпадает с вырожденной проекцией секущей плоскости и изображается отрезком прямой в пределах соответствующей проекции поверхности.

Пирамида пересекается плоскостью по плоскому многоугольнику (рис. 2.27), вершины которого принадлежат ребрам и сторонам основания пи- рамиды.

Пирамида SKLM пересечена плоскостью ∑, расположенной параллель- но боковому ребру KS. Плоскость пересекает основание пирамиды ∆ KLM и два боковых ребра LS и MS. Значит, в сечении получается четырехугольник ABCD, в котором стороны AB и CD параллельны между собой, т. к. они па- раллельны ребру KS.

Это необходимо учесть при построении проекций фигуры сечения. Так как боковое ребро SL параллельно плоскости П3, то горизонтальную проек- цию точки В строим по ее глубине относительно вершины S. Видимость сторон четырехугольника на плоскостях проекций определяют видимостью граней пирамиды. Поскольку грань SLM на П3 не видна, то и сторона BC сечения тоже не видима. Грань SKM перпендикулярна плоскости П3, поэтому сторона CD сечения совпадает с вырожденной в прямую проекцией грани.

Рис. 2.27

Натуральная величина фигуры сечения построена на поле П4, располо- женном параллельно секущей плоскости ∑ (на чертеже ось проекций П2/П4 расположена параллельно ∑2). Проекции точек на поле П4 построены на но- вых линиях связи, перпендикулярных новой оси проекций П2/П4,с помощью глубин точек фигуры сечения, измеренных на поле П1 от оси проекции П2/П 1. Призма так же, как и пирамида, пересекается плоскостью по плоскому многоугольнику. Поверхность призмы является проецирующей, значит одна

проекция фигуры сечения совпадает с «вырожденной» проекцией боковой по- верхности призмы (рис. 2.28). Следовательно, строим только третью проек- цию фигуры сечения и ее натуральную величину.

На рис. 2.28 прямая треугольная призма имеет горизонтально проециру- ющую поверхность, изображаемую на П1 треугольником 11–21–31. Секущая плоскость ∑ пересекает верхнее основание призмы и два боковых ребра, т.е. в сечении получается четырехугольник ABCD, горизонтальные проекции сто- рон ВC, CD и DA которого совпадают с ∆11–21–31. Так как на поле П3 не вид- на правая грань призмы, то и линия CD сечения ее тоже будет не видима.

Рис. 2.28

Натуральную величину сечения строим по двум направлениям: вдоль и поперек сечения. По горизонтальной линии откладываем расстояния между точками вдоль сечения, истинные размеры которых берем с поля П2 по выро- жденной проекции сечения плоскости (∑2). По направлениям, перпендикуляр- ным горизонтальной линии, откладываем расстояния поперек сечения. Они соответствуют глубинам точек на поле П1 или П3. На рис. 2.28 они измерены на П1 относительно точки D 1.

Сфера пересекается плоскостью по окружности. Диаметр окружности определяется отрезком d, совпадающим с вырожденной проекцией секущей плоскости внутри очерка сферы (рис. 2.29). Две другие проекции окружности сечения имеют форму эллипсов, для построения которых следует определить размеры их осей.

Большая ось эллипсов равна диаметру d окружности сечения, а величи- на малой оси зависит от угла наклона секущей плоскости к плоскости проек- ций. Плоскость ∑ (∑2) – фронтально проецирующая. Она пересекает сферу по окружности с центром в точке О (О 2) диаметром d = А 2 В 2, где А – наивыс-

шая, а В – наинизшая точка линии сечения. Эти точки лежат на главном мери- диане f сферы.

Рис. 2.29

Горизонтальные А 1 и В 1 и профильные А 3 и В 3 проекции точек сечения строим по линиям связи на горизонтальной f 1 и профильной f 3 проекциях глав- ного меридиана сферы. Окружность сечения на П1 и П3 изображаем эллипсом, размер малых осей которого определяем проекциями А 1 В 1 и А 3 В 3 диаметра АВ. Диаметр СD, перпендикулярный диаметру АВ, проецируется в точку на

П2 (C 2 ≡ D 2) и без искажения на П1 и П3 (C 1 D 1 = d и C 3 D 3 = d), т.к. является фронтально проецирующим (CD ^П2) и определяет большую ось эллипсов. Окружность сечения частично не видима на П1 и на П3. Точки видимости на П1 определяем в пересечении экватора h с плоскостью ∑ (точки Е и F); Е 1 и F 1

? h 1; Е 3 и F 3? h 3.

Точки Е 3 и F 3 строим по их глубинам, измеренным на П1. Точки види- мости на П3 определяем в пересечении профильного меридиана с секущей плоскостью (точки К и L). Сначала строим профильные проекции К 3 и L 3 этих точек, а затем по их глубинам, измеренным на П3, строим горизонтальные К 1 и L 1 проекции.

Опорные точки строим все. На рис. 2.29 построена пара промежуточ- ных точек M и N, уточняющих форму горизонтальной и профильной проек- ций окружности сечения. Недостающие проекции точек строим с помощью вспомогательной параллели – окружности радиуса R из условия принадлеж- ности этих точек секущей плоскости (М 2 ≡ N 2) и поверхности сферы. М 1 (N 1) строим по вертикальной линии связи на дуге окружности радиуса R, а М 3(N 3)

– по горизонтальной линии связи с помощью глубин точек, измеренных на горизонтальной плоскости проекций.

Истинный размер сечения получаем на поле П4, расположенном парал- лельно секущей плоскости ∑, как окружность диаметра d с центром в точке О 4. Затем в проекционной связи на этой окружности отмечаем проекции всех точек, с помощью которых строим горизонтальную и профильную проекции сечения.

Цилиндр вращения (рис. 2.30) пересекается плоскостью (Σ2) в общем случае по эллипсу. Если же секущая плоскость параллельна (y2) или перпен- дикулярна (Г 2) оси цилиндра, то в сечении получаются, соответственно, пара параллельных прямых или окружность (рис. 2.30, а). Если поверхность ци- линдра является проецирующей, то одна проекция линии сечения совпадает с

«вырожденной» в окружность проекцией поверхности.

Размеры осей эллипса сечения определяются диаметром цилиндра (ма- лая ось эллипса равна диаметру цилиндра) и положением секущей плоскости (большая ось эллипса равна отрезку вырожденной проекции секущей плоско- сти в пределах очерка цилиндра). Центр эллипса сечения находим в точке пересечения оси цилиндра с секущей плоскостью.

На рис. 2.30, б, в построены проекции линии пересечения и натуральная величина фигуры сечения цилиндра, имеющего фронтально проецирующую поверхность. Секущая плоскость задана горизонтально проецирующей и пересекающей заднее основание цилиндра по линии ВС. Сечение представ- ляет собой неполный эллипс с малой осью DE и большой полуосью, размер которой определяется на П1 отрезком А 1 Е 1.

Фронтальную проекцию сечения располагаем по дуге окружности вле- во от линии В 2 С 2. Самой верхней точкой сечения будет точка Е, самой ниж- ней – точка D. Эти же точки будут границей видимости линии сечения на поле П3, как расположенные на очерковых образующих цилиндра. Промежу- точные точки 1, 2, 3 и 4 уточняют характер профильной проекции эллипса. Их профильные проекции строим с помощью глубин точек, измеренных на П1 от дальнего основания цилиндра.

Натуральную величину сечения строим по двум направлениям: расстоя- нию между точками вдоль сечения, измеренному на П1, и поперек сечения, измеренному на П2 (рис. 2.30, в).

Конус вращения пересекается плоскостью (рис. 2.31) в зависимости от ее расположения относительно поверхности по окружности, эллипсу, парабо- ле, гиперболе или двум образующим (рис. 2.31, а). Наибольшие затруднения возникают при построении на конусе проекций кривых эллипса (или его ча- сти), параболы и гиперболы.

Проекции точек, определяющих проекции кривых на конусе, строим с по- мощью образующих или с помощью параллелей. На рис. 2.31, б построены проекции сечения конуса фронтально проецирующей плоскостью Σ(Σ2). В се-

чении получаем часть эллипса, большая ось которого равна отрезку А 2 F 2, а малая MN делит его пополам. Эллипс обрезан линией BC, по которой секу- щая плоскость пересекает основание конуса. На горизонтальной проекции кривая сечения видна полностью, а на профильной только ее верхняя часть.

Границей видимости для поля П3 служит профильный меридиан конуса, который пересекается плоскостью ∑ в точках D и Е. Проекции точек А, В, С, D и Е построены из условия принадлежности их очерковым линиям поверх- ности конуса. Размер малой оси эллипса сечения, а следовательно, гори- зонтальные M 1 (N 1) и профильные M 3(N 3) проекции точек определяем из усло- вия принадлежности их параллели радиуса R 1 на поверхности конуса.

Промежуточные точки K и L уточняют проекции верхней части эл- липса. Их проекции на П1 строим с помощью параллели радиуса R 2. На рис. 2.31, б также показано построение проекций этих точек с помощью образую- щих S – 1 и S – 2.

Натуральную величину плоской фигуры сечения строим по расстояни- ям а…d между точками вдоль сечения и расстояниям, отмеченным черточка- ми на П1 или П3, поперек сечения (рис. 2.31, в).

Пример построения линии пересечения поверхности проецирующей плоскостью

П р и м е р. Построить проекции линии пересечения поверхности проецирующей плоскостью (рис. 2.32).

Проведем анализ задания. Модель ограничена снаружи цилиндром вра- щения в верхней части и полусферой – в нижней, а внутри – поверхностью треугольной пирамиды. Поверхность цилиндра является горизонтально проецирующей, секущая плоскость ∑ – фронтально проецирующей. По двум заданным проекциям строим недостающую.

Передняя грань 1 –S– 3 пирамиды S– 1–2–3 является профильно проеци- рующей (линия 1–3 перпендикулярна П3), поэтому на П3 она изображается от- резком прямой S 3 – 1 3 ≡ (33). Секущая плоскость ∑ пересекает верхнее осно- вание цилиндра по линии А – А'; поверхность цилиндра – по части эллипса, ограниченного на стыке с основанием полусферы точками H (H').

Основание полусферы пересекается по линиям EH (E'H'), а сама полу- сфера – по части окружности радиуса ОВ (О 2 В 2). Поверхность пирамиды пере- секается по треугольнику KLM, вершины которого определяются точками пересечения боковых ребер пирамиды с плоскостью ∑.

Далее уточняем форму профильной проекции эллипса построением до- полнительных промежуточных точек 4(4 '), 5(5 ') по их глубинам, измерен- ным на поле П1, относительно фронтальной плоскости симметрии Ф (Ф1, Ф3).

Поскольку поверхность цилиндра является горизонтально проецирую- щей, то горизонтальная проекция эллипса сечения совпадает с вырожденной проекцией поверхности и располагается по дуге окружности между точками A' 1 … H' 1 и A 1 … H 1. На поле П3 видна верхняя часть эллипса до точек С (C'), расположенных на профильном меридиане цилиндра. Горизонтальную проек-

цию точки М строим по ее профильной М 3 с помощью глубины f, т.к. ребро S– 2 пирамиды S– 1–2–3 параллельно плоскости П3. Остальные проекции то- чек K, L, и М определяем по линиям связи на соответствующих проекциях ре- бер пирамиды.

Рис. 2.32

Фронтальная проекция треугольника КLM совпадает с фронтальной проекцией сечения цилиндра. На поле П1 треугольник KLM виден, а на поле П3 – не виден, т.к. расположен внутри модели. Проекции части окружности уточняем с помощью промежуточных точек 6(6'), проекции которых построе- ны на вспомогательной параллели радиуса R.

Часть окружности сечения полусферы плоскостью ∑ ограничена верх- ними точками E и E' и нижней точкой B на главном меридиане сферы. Линия не видна ни на П1, ни на П3, т.к. расположена на нижней правой части поверх- ности сферы.

Натуральную величину плоской фигуры сечения строим на свободном поле чертежа (рис. 2.32).

За неимением места линию вдоль сечения проводим горизонтально и на ней отмечаем все расстояния между фронтальными проекциями точек. Через эти точки проводим линии, ей перпендикулярные. Далее по ним вверх и вниз от оси откладываем глубины всех точек, измеренные или на П1, или на П3. Дугу окружности сечения полусферы проводим циркулем радиусом О 2 В 2

(ОВ). Точки, определяющие форму эллипса, соединяем плавной кривой с по- мощью лекала.

2.2. СОДЕРЖАНИЕ, ОФОРМЛЕНИЕ И ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ ВЫПОЛНЕНИЯ

ГРАФИЧЕСКОЙ РАБОТЫ

По данному разделу курса инженерной графики студенты выполняют графическую работу 2 «Величина плоской фигуры».

Работа выполняется на отдельном листе формата А3(297х420 мм). Работа включает в себя две задачи:

построить три проекции линии пересечения поверхностей проецирую- щей плоскостью, считая ее прозрачной;

построить натуральную величину фигуры сечения (величину плоской фигуры).

При оформлении работы необходимо учесть следующие моменты: проекции наружной и внутренней линий сечения поверхности плоско-

стью, не совпадающие с очерковыми линиями, нужно выделить цветным ка-

рандашом;

все точки на чертеже следует выделить полыми кружками диаметром 1,0…1,5 мм и обозначить латинскими буквами или арабскими цифрами с ин- дексами плоскостей проекций по типу D 2, 31.

Основную надпись нужно заполнить в соответствии с рис. 1.3, при этом графа 1 должна содержать следующую информацию:

ИУСЭ.ИГНГ02.001, где НГ – начертательная геометрия.

В графе 2 указывают название работы: «Величина плоской фигуры». Работу выполняют в следующей последовательности:

1. По фронтальной и горизонтальной проекциям заданных поверхно- стей строят профильную проекцию этих поверхностей.

2. Строят проекции линии пересечения поверхностей заданной плоско-

стью.

3. Строят натуральную величину плоской фигуры сечения. Индивидуальные задания к работе 2 приведены в приложении 2.1. Образец оформления работы 2 приведен в приложении 2.2.

Приложение 2.1