Итак, объекты действительности представляют собой единство дискретного и непрерывного (недизъюнктивность). Если в натуральном числе фиксируется дискретность и в связи с этим устойчивость внешней стороны явлений действительности, то в понятии фигуры – непрерывность и тоже устойчивость.
Примечательно, что натуральные числа и фигуры оказываются сходными с чувственными образами в том отношении, что в данных понятиях отображается внешняя сторона предметов действительности. Именно это имел в виду Платон, когда сближал математические абстракции с чувственностью. Но он не учитывал, что отмеченный феномен касается лишь исходных понятий математики.
Абстракции математики многоступенчаты, имеют разную степень общности. На первых этапах ее развития в понятии числа отвлекались от качественных особенностей реальных объектов, позже – от конкретных чисел и величин в результате создания алгебры и введения буквенной символики. Наконец, на современном этапе отвлекаются даже от конкретного содержания зависимостей, так что, например, обычные арифметические действия (сложение, вычитание, умножение и деление), осуществляемые с абстрактными объектами математических структур, предстают уже в виде абстрактных операций.
Абстракции современной математики в значительной степени отличаются от исходных понятий. Они выражают не только количественную сторону реальных процессов объективной действительности. В противном случае трудно объяснить удивительную, непостижимую «эффективность математики в естествознании», как писал Ю. Вигнер, т.е. тот факт, что ее нынешние модели зачастую описывают довольно неплохо сложные процессы материальной действительности.
Кстати, позиция сторонников количественной концепции, т.е. тех, кто предполагает, что математика исследует лишь количественную сторону процессов действительности и убеждены в том, что определения количества (и качества, соответственно) в математике должны быть отличны от философских, выглядит искусственной, неправомерной. Понятие количества и качества должны быть одинаковы для всех наук.
Количество – это и внешнее, и внутреннее, и различное в сходных по качеству объектах, и, вместе с тем, сходное в различных по своему качеству вещах. Это такая определенность предметов, явлений, которая характеризует их величину, форму, интенсивность свойств, темпы развития и т.п.
Попытки в прошлом дать два понятия материи (философское и естественнонаучное) были признаны ошибочными.
Математика в какой-то мере описывает и качественную сторону явлений материальной действительности (правда, частично, косвенно, опосредованно и своеобразно, с помощью особого искусственного языка), тем более, что существует неразрывная связь количества и качества.
Уже исходные категории математики количественную сторону явлений действительности отображают дизъюнктивно и в этом смысле неадекватно, огрублено. В дальнейшем используются понятия более высоких уровней общности (абстракции от абстракций), зачастую не имеющие никакого референта в окружающем мире (например, любой тройке действительных чисел соответствует точка в реальном пространстве трех измерений, а для четверки, пятерки и т.п. чисел адекватны уже так называемые многомерные, параметрические пространства). Тем не менее, современная математика точнее, полнее описывает реальные явления, чем раньше. Это происходит, очевидно, благодаря потенциальным возможностям аксиоматического метода и способностям развитой математики выражать в какой-то мере и качественную сторону процесса действительности. При этом количество не сводится к величинам или выражающим их числам, как это было до второй половины XIX в.
Заключение
Рассматриваемые абстракции обладают спецификой. Их характерной особенностью является следующее: отвлечение исходных категорий от качественной стороны объектов действительности, наличие элементов идеализации, значительная относительная самостоятельность этих понятий, ведущая к необходимости создания «идеальных элементов», не имеющих прообраза в объективном мире (например, квадратный корень из -1), иерархия математических абстракций.
Важное в методологическом отношении обстоятельство – исходные понятия фиксируют момент устойчивости явлений окружающего мира, которые на самом деле представляют собой, как известно, единство устойчивости и изменяемости, так что каждый объект есть и результат, и процесс, и то и не то, движущееся тело и находится в данном месте, и вместе с тем его там нет. Если натуральное число можно рассматривать как инвариант класса эквивалентных множеств, то фигуру – как инвариант внешней формы подобных тел.
Итак, в исходных понятиях элементарной математики отображаются либо дискретность и устойчивость внешней количественной стороны явлений действительности, либо (в случае понятия фигуры) непрерывность и опять-таки устойчивость внешней природы предметов материального мира.
И в заключение привожу определение математики с точки зрения рассматриваемой темы. Математика – своеобразный, формальный способ теоретического описания действительности, область знания, имеющая особый статус в системе наук; с ее помощью можно, в принципе, описать любой процесс объективной действительности. Для математики более характерен метод, чем предмет, в качестве же своих объектов она рассматривает пространственные формы и количественные отношения действительности, точнее, идеализированные объекты, начиная с натурального числа и фигуры и кончая своеобразными структурами.
Список литературы
Жуков «Специфика математических абстракций», Минск, 1986.
Бурбаки Н. «Очерки по истории математики», Москва, изд. Наука, 1963.
Энциклопедия юного математика