Теоретические упражнения

ЛУКИНОВА С. Г.

 

 

МАТЕМАТИКА

 

 

ВЫСШАЯ АЛГЕБРА

КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА

 

 

Учебноe пособие

 

 

Красноярск 2010

Содержание
Введение
Комплексные числа
Многочлены
Теоретические вопросы
Теоретические упражнения
Расчетные задания
Литература

Введение

 

Настоящие методические указания соответствуют курса лекций по дисциплине «Высшая математика», они содержат теоретические вопросы, теоретические упражнения, расчетные задания (360 задач), справочный материал и примеры решения типовых задач.

Каждый студент учебной группы выполняет индивидуальное задание – один вариант содержит 12 задач, которые оцениваются 20 баллами.

Данное индивидуальное задание является одним из системы расчетных заданий, выполняемых при рейтинговой технологии обучения.

 

Комплексные числа

 

Комплексными числами называются

упорядоченные пары действительных чисел, для которых определены операции:

· сложения ,

· умножения .

Комплексное число записывается в виде

(алгебраическая форма),

- мнимая единица.

 

где - действительная часть;

- мнимая часть комплексного числа;

Всякое комплексное число может быть записано и в тригонометрической форме

или в показательной форме

,

где - модуль числа z;

- аргумент числаz;

; .

Два комплексных числа и равны тогда и только тогда, если и .

Число называются сопряженным комплексным числом.

Для возведения в степень комплексного числа используют формулу Муавра.

.

Корень ^ой степени из комплексного числа Z имеет различных значений, которые находятся по формуле

;

 

.

Приведем решения некоторых типовых задач.

 

Пример.

Найти значения выражений

а) ;

б) ;

 

Решение:

а) ;

б) Запишем число в тригонометрической форме

;

, тогда

.

По формуле Муавра получим или

.

в) Запишем число в тригонометрической форме , тогда , где

или

 

Многочлены

 

Функция называется многочленом или полиномом степени .

Числа (действительные или комплексные) являются коэффициентами многочлена; переменная , вообще говоря, комплексная .

Число будет корнем многочлена , если

.

Теорема Безу

Для того, чтобы многочлен имел (комплексный) корень С, необходимо и достаточно, чтобы он делился на , то есть

,

где - некоторый многочлен степени .

Корень многочлена С называют простым корнем, если

и .

Число С называют корнем многочлена кратности К, если

и .

Основная теорема алгебры.

Всякий многочлен ^ой степени имеет, по крайней мере, один корень (действительный или комплексный).

Из этой теоремы следует, что многочлен имеет действительных и комплексных корней , среди них могут быть и кратные корни, таким образом, многочлен разлагается множители

, где .

Если коэффициенты многочлена являются действительными числами, то если есть корень , то комплексно сопряженное число также будет корнем .

В этом случае паре сопряженных комплексных корней и будет соответствовать в разложении многочлена множитель – квадратный трехчлен с отрицательным дискриминантом .

(Найдите, чему равны и , если , ).

Таким образом, многочлен , коэффициенты которого действительные числа, будет разложен на множители следующим образом:

, (1)

Здесь - действительные корни, кратности соответственно , а каждый квадратный трехчлен имеет отрицательный дискриминант.

Рациональной функцией или рациональной дробью называется отношение двух многочленов

.

Рациональная дробь будет правильной, если степень числителя меньше степени знаменателя , и неправильной, когда .

Рациональные функции вида

I) ;

II) ;

III) ;

IV)

называют простейшими рациональными дробями. Здесь - действительные числа, а трехчлен имеет отрицательный дискриминант.

Пусть знаменатель правильной рациональной дроби разложен на множители по формуле (1). Тогда рациональную дробь можно представить и притом единственным образом в виде суммы простейших дробей, причем множителю соответствует дробь ; множителю соответствует сумма дробей ; множителю соответствует дробь ; множителю соответствует сумма дробей .

Поясним последнее утверждение на примерах.

 

Пример.

Следующие рациональные дроби разложить на сумму простейших дробей:

а) ;

Решение:

,

,

где - некоторые числа.

Чтобы их найти, приводим правую часть к общему знаменателю и приравниваем числители левой и правой частей:

 

.

 

Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях в обеих частях равенства:

 

Решая систему, найдем

; ; , таким образом,

.

 

б)

решая уравнение , нашли его корни , тогда , .

Дадим любые значения, например, равные корням знаменателя дроби , откуда ; , тогда .

 

в) заданная рациональная дробь – неправильная, поэтому разделим числитель на знаменатель (столбиком)

Таким образом

;

;

;

,

, откуда ; ; тогда .

 

 

Теоретические вопросы

1. Комплексные числа. Основные понятия.

2. Различные формы комплексного числа: алгебраическая, тригонометрическая, показательная. Формулы Эйлера.

3. действия над комплексными числами.

4. изображения комплексных чисел. Модуль и аргумент комплексного числа. Полярная система координат.

5. Возведение в степень комплексного числа. Извлечение корня з комплексного числа. Формула Муавра.

6. Многочлен ^ой степени от одного неизвестного. Корни многочлена.

7. действия над многочленами.

8. теорема Безу. Разложение многочлена на множители. Основная теорема алгебры (без доказательства).

9. рациональная дробь. Простейшие рациональные дроби. Представление правильной рациональной дроби в виде суммы простейших дробей.

 

 

Теоретические упражнения

1. Докажите, что

а) ; г) ;

б) ; д) ;

в) ; е) .

 

2. Докажите формулы Эйлера

;

 

3. Используя формулы Эйлера, выразите и через косинусы и синусы кратных дуг.

 

4. используя формулу Муавра, выразите через и следующие функции:

а) , ;

б) , .

.

5. найдите суммы

а) ;

б) .

Указание: . Рассмотрите формулу суммы геометрической прогрессии .

 

6. Разложите на множители следующие многочлены

а) , если известен один корень ;

б) , если известен двукратный корень ;

7. Остаток от деления некоторого многочлена на многочлен равен .

Докажите, что остаток от деления этого же многочлена на равен .

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

Задание I

Изобразить комплексное число на плоскости, записать в тригонометрической и показательной формах (I балл)

1.1. ;

1.2. ;

1.3. ;

1.4. ;

1.5. ;

1.6. ;

1.7. ;

1.8. ;

1.9. ;

1.10. ;

1.11. ;

1.12. ;

1.13. ;

1.14. ;

1.15. ;

1.16. ;

1.17. ;

1.18. ;

1.19. ;

1.20. ;

1.21. ;

1.22. ;

1.23. ;

1.24. ;

1.25. ;

1.26. ;

1.27. ;

1.28. ;

1.29. ;

1.30. .

Задание II

Найти значения выражений (2 балла).

2.1.

2.2.

2.3.

2.4.

2.5.

2.6.

2.7.

2.8.

2.9.

2.10.

2.11.

2.12.

2.13.

2.14.

2.15.

2.16.

2.17.

2.18.

2.19.

2.20.

2.21.

2.22.

2.23.

2.24.

2.25.

2.26.

2.27.

2.28.

2.29.

2.30.

Задание III

Решить уравнение (4 балла).

3.1.

3.2.

3.3.

3.4.

3.5.

3.6.

3.7.

3.8.

3.9.

3.10.

3.11.

3.12.

3.13.

3.14.

3.15.

 

3.16.

3.17.

3.18.

3.19.

3.20.

3.21.

3.22.

3.23.

3.24.

3.25.

3.26.

3.27.

3.28.

3.29.

3.30.

Задание IV

Найти все значения корня и изобразить их на плоскости (III балла).

4.1.

4.2.

4.3.

4.4.

4.5.

4.6.

4.7.

4.8.

4.9.

4.10.

4.11.

4.12.

4.13.

4.14.

4.15.

4.16.

4.17.

4.18.

4.19.

4.20.

4.21.

4.22.

4.23.

4.24.

4.25.

4.26.

4.27.

4.28.

4.29.

4.30.

Задание V

Изобразить область, заданную неравенствами (III балла).

5.1. а)

б)

в)

5.2. а)

б)

в)

5.3. а)

б)

в)

5.4. а)

б)

в)

 

5.5. а)

б)

в)

5.6. а)

б)

в)

5.7. а)

б)

в)

5.8. а)

б)

в)

 

5.9. а)

б)

в)

5.10. а)

б)

в)

5.11. а)

б)

в)

5.12. а)

б)

в)

5.13. а)

б)

в)

5.14. а)

б)

в)

5.15. а)

б)

в)

5.16. а)

б)

в)

5.17. а)

б)

в)

5.18. а)

б)

в)

5.19. а)

б)

в)

5.20. а)

б)

в)

5.21. а)

б)

в)

5.22. а)

б)

в)

5.23. а)

б)

в)

5.24. а)

б)

в)

5.25. а)

б)

в)

5.26. а)

б)

в)

5.27. а)

б)

в)

5.28. а)

б)

в)

 

 

5.29. а)

б)

в)

 

5.30. а)

б)

в)

 

Задание VI

Построить график заданного уравнения в полярной системе координат. Записать уравнение в декартовой прямоугольной системе координат (III балла).

 

6.1.

6.2.

6.3.

6.4.

6.5.

6.6.

6.7.

6.8.

6.9.

6.10.

6.11.

6.12.

6.13.

6.14.

6.15.

6.16.

 

6.17.

6.18.

6.19.

6.20.

6.21.

6.22.

6.23.

6.24.

6.25.

6.26.

6.27.

6.28.

6.29.

6.30.

Задание VII

Разделить заданные многочлены (I балл).

7.1.

7.2.

7.3.

7.4.

7.5.

7.6.

7.7.

7.8.

7.9.

7.10.

7.11.

7.12.

7.13.

7.14.

7.15.

7.16.

7.17.

7.18.

7.19.

7.20.

7.21.

7.22.

7.23.

7.24.

7.25.

7.26.

7.27.

7.28.

7.29.

7.30.

Задание VIII

Разложить на сумму простейших дробей заданные рациональные дроби (IV балла).

8.1.

8.2.

8.3.

8.4.

8.5.

8.6.

8.7.

8.8.

8.9.

8.10.

8.11.

8.12.

8.13.

8.14.

8.15.

 

8.16.

8.17.

8.18.

8.19.

8.20.

8.21.

8.22.

8.23.

8.24.

8.25.

8.26.

8.27.

8.28.

8.29.

Поделиться: