ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
«САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ КИНО И ТЕЛЕВИДЕНИЯ»
Кафедра математики и информатики
КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА
Методические указания
к выполнению расчетно-графической работы
Для студентов ФАВТ, ФПСКТ, ФФиТРМ
Санкт-Петербург
Составитель: старший преподаватель Е.Ю. Непомнящая
Рецензент: заведующий кафедрой математики и информатики СПбГУКиТ, доктор физ-мат. наук, профессор И.Н.Щитов
Рекомендовано к изданию в качестве методических указаний кафедрой математики и информатики.
Протокол № 11 от 11.04.2011 г.
Комплексные числа.
Действия над комплексными числами.
Комплексным числом z называется выражение вида
z = x + iy, где х и у -вещественные числа, а i = так называемая мнимая единица, определяемая условием i2 = - 1.
Число х называется вещественной частью комплексного числа z и обозначается Rez, а у - мнимой частью z и обозначается Im z.
Два комплексных числа z1 = x1 + i y1 и z2 = x2 + i y2 равны тогда и только тогда, когда равны их вещественные и мнимые части:
z1 = z2 Û x1 = x2; y1 = y2
Сумма и разность комплексных чисел
z1 = x1 + i y1 и z2 = x2 + i y2
определяются соответственно равенствами
z1 ± z2 = x1 ± x2+ i (y1 ± y2) (1)
Произведение комплексных чисел z1 и z2 определяется равенством
z1z2 = x1x2 - y1y2 + i(x1y2 + x1y2) (2)
Комплексное число вида z = x + i∙0 можно отождествить с вещественным числом x. Таким образом, вещественное число является частным случаем комплексного числа, когда его мнимая часть равна нулю.
Запись комплексного числа в виде z = x + iy называется алгебраической формой комплексного числа.
Нетрудно видеть, что действия сложения, вычитания и умножения с комплексными числами в алгебраической форме производятся так же, как с алгебраическими двучленами, при этом следует учитывать, что i2 = - 1.
Число`z называется комплексно сопряженным с числом
= 
: 
= 
= x - iy
Чтобы найти частное от деления двух комплексных чисел, нужно умножить и числитель, и знаменатель дроби на число, сопряженное знаменателю:
= 
= 
=
= 
+ 
i
Примеры.
Даны два комплексных числа:
z1=3-2i; z2=-1+4i
Найти: 1) z1+z2; 2) z1-z2; 3) z1×z2; 4) 
; 5) 
; 6) 
Решение.
1) z1+z2 = (3-2i)+(-1+4i) = 2+2i;
2) z1-z2 = (3-2i) -(-1+4i) = 4-6i;
3) z1×z2 = (3-2i)×(-1+4i) = -3+12i+2i-8i2 = -3+8+14i = 5+14i;
4) = 
= 
= 
=
= - 
- 
i;
5) 
= 
=
= 
= 
= - 
+ 
i;
6) = 
= 
= 
= 
+ 
i
Геометрическое изображение комплексных чисел.
Поскольку комплексное число z = x + iy можно интерпретировать как упорядоченную пару чисел (x,y), то удобно изображать комплексное число как точку на плоскости с этими координатами. Саму плоскость при этом называют комплексной плоскостью.
Длина r радиус-вектора OM (рис.1) называется модулем комплексного числа и обозначается |z|, а угол j, образованный радиус-вектором с осью Ох и отсчитываемый против часовой стрелки, - аргументом комплексного числа; он обозначается через Аrg z.
Рис. 1
Очевидно, аргумент комплексного числа определяется неоднозначно, а с точностью до слагаемого, кратного 2p:
j = arg z + 2kp, k = 0, ±1, ±2,...,
где 0£ arg z£2p – главное значение аргумента.
Из чертежа видно, что
r = |z| = 
(3); tg j = 
(4).
Так как формула (4) не определяет угол j однозначно, то следует учитывать следующие соотношения:
arg z = arctg при x > 0, y ³ 0;
arg z = p + arctg при x < 0, y ³ 0;
arg z = p + arctg при x < 0, y < 0;
arg z = 2p + arctg при x > 0, y < 0.
Примеры.
Изобразить на комплексной плоскости числа
1) z1 = 1+i; 2) z2 = - 
+i; 3) z3 = -1-i; 4) z4 = 1-i ;
5) z5 = -1; 6) z6 = -2i
и найти их модули и аргументы.
Рис. 2
Решение.
При решении всех примеров выбиралось главное значение аргумента.
1)  , tg  =1, 
| 4)  , tg  , 
|
2)  , tg  , 
| 5)  , tg  , 
|
3)  , tg  1, 
| 6)  , tg 
|