Извлечение корня n-й степени из комплексного числа.

 

Корнем n-ой степени из комплексного числа называется такое комплексное число w, которое, будучи возведено в степень n, даст число z, то есть

w = , если wⁿ= z.

Корень n-ой степени из числа z = r(cos j + i sin j) имеет n значений, определяемых по формуле

 

w = = (cos() + i sin ()) (10)

или w = ,

где j - любое фиксированное значение аргумента, а понимается в арифметическом смысле (как неотрицательное вещественное число); число k принимает n значений:

k = 0, 1, 2,..., n - 1.

Геометрически числа w_k располагаются в вершинах правильного n-угольника, вписанного в круг радиуса с центром в начале координат.

Примеры.

1. Найти все корни третьей степени из числа z = 1.

Решение.

 

k=0;

 

k=1;

 

 

k=2;

 

 

2. Решить уравнение x⁴ + 16 = 0

Решение:

x⁴ = -16; x = . Так как -16 = 16 (cos p +i sin p), то

 

x = 2 (cos () + i sin ());

k = 0; x₀ = 2 (cos () + i sin ()) = 2 ( + i ) = + i ;

k = 1; x₁ = 2(cos () + i sin ()) = 2 (- + i ) =

 

= - + i ;

k = 2; x₂ = cos () + i sin ()) = 2 (- - i ) =

 

= – - i ;

k = 3; x₃ = cos () + i sin ()) = 2 ( - i ) =

 

= - i .

 

5. Варианты заданий.

 

5.1. Образец решения заданий.

Условия задач:

1. Дано комплексное число z. Построить точки z и .

Найти |z|, | |, arg z, arg .

2. Найти вещественную и мнимую части данных комплексных чисел.

3. Найти все корни данных уравнений.

4. Найти такие вещественные x и y, чтобы выполнялось данное равенство.

5. Написать такое квадратное уравнение, для которого x₁ является корнем.

6. Записать данное комплексное число в алгебраической, тригонометрической и показательной формах.

 

Примеры.

 

1. z = -8 + 4i

 

Решение:

= -8 - 4i |z| = | | = = j = arg z tg j = - j = p - arctg arg z @ 1530   arg @ - 1530

 

2. а) z =

Решение:

 

z = = = + i;

 

z = 0,9 + 2,3i; Re z = 0,9; Im z = 2,3

 

б) z = 4i¹⁵³ - 2i¹²² + i²⁰ - i⁷

Решение:

Так как i² = -1, то i³ = -i, i⁴ = 1.

z = 4i¹⁵²× i - 2i¹²⁰× i² + i²⁰ - i⁴×i³ = 4i + 2 + 1 + i = 3 + 5i

Re z = 3 Im z = 5

 

в) z =

 

Решение:

z = = =

= = = (cos + i sin ) =

 

= (cos + i sin ) = (- + i ) = - + i

 

Re z = - Im z =

 

3. а) x² - 8x + 41 = 0

Решение:

x_1,2 = 4 ± = 4 ± = 4 ± 5i

 

б) x³ - 1000 = 0

Решение:

x³ = 1000 = 1000(cos 0 + sin 0)

x_k = (cos + i sin )

k = 0; x₀ = 10 (cos 0 + i sin 0) = 10

k = 1; x₁ = 10 (cos + i sin ) = 10 (- + i) = -5 + 5i

k = 2; x₂ = 10 (cos + i sin ) = 10 (- - i) = -5 - 5i

 

4. = x + y +2i

Решение:

3 + ixy = x + y + 2i

Приравняем вещественные и мнимые части:

x = 1, y = 2 или x = 2, y = 1

5. x₁ = 1 - 6i

Решение:

x₂ = 1 + 6i

Если квадратное уравнение имеет вид x² + px + q = 0, то

x₁ + x₂ = - p x₁ + x₂ = 2

x₁×x₂ = q x₁×x₂ = (1 - 6i)(1 + 6i) = 1 + 36 = 37

Получили уравнение: x² - 2x + 37 = 0

6. z = 1 + sin 232⁰ + i cos 232⁰

Решение:

По формулам приведения

sin 232⁰ = cos 142⁰

cos 232⁰ = - sin 142⁰

z = 1 + cos 142⁰ - i sin 142⁰ = 2 cos 71⁰(cos(-71⁰) + i sin (-71⁰))

Тригонометрическая форма:

z = 0,65 (cos(-71⁰) + i sin (-71⁰))

71⁰ @ 1,24 рад.

Показательная форма:

z = 0,65 e^{1,24 i}

Вычислим 1 + cos 142⁰ @ 0,211; sin 142⁰ @ 0,614

Алгебраическая форма:

z = 0,211 + 0,614i

 

5.2. Варианты заданий.

 

	№	Задания	№	Задания
		1. z = -2 + 3i 2. а) z = б) z = 3i171 - 2i123+ i10 - i в) z = 3. а) 2x2 - 6x + 13 = 0 б) x7 + 1 = 0 4. 5 + ixy = x + y + 4i 5. x1 = 2 + i 6. 1 + sin 120 + i cos 120		1. z = 3 -2i 2. а) z = б) z = 3i151- 2i103+ i12 - i2 в) z = 3. а) 2x2 + 4x - 11 = 0 б) x7 - 1 = 0 4. 3x -y + ixy = 3 + x + 2i 5. x1 = 1 + 2i 6. 1 + sin 180 + i cos 180
		1. z = -5 + 2i 2. а) z = б) z = 3i147+ 2i130+ i26 - i21 в) z = 3. а) 3x2 + 4x + 12 = 0 б) 32x5 + 1 = 0 4. 7xy + 3i = 2x + y + 6xi 5. x1 = 1 -5i 6. 1 - sin 220 + i cos 220		1. z = 11 + 7i 2. а) z = б) z = 3i137- 2i131- i2 + i1 в) z = 3. а) 2x2 + 2x + 17 = 0 б) 32x5 - 1 = 0 4. = 11 + 2i 5. x1 = 5 -i 6. 1 - sin 240 + i cos 240
	№	Задания	№	Задания
		1. z = -5 - 2i 2. а) z = б) z = 6i144+ i117-3i13- 2i2 в) z = 3. а) 3x2 + 10x + 15 = 0 б) 64x6 - 1 = 0 4. 3xy - 7i = 5. x1 = 3 + 2i 6. 1 + cos 220 - i sin 220		1. z = -7 -3i 2. а) z = б) z = 6i124+ i97- 3i91 + 2i5 в) z = 3. а) 5x2 + 4x + 1 = 0 б) 64x6 + 1 = 0 4. 3x -1 + iy = 5. x1 = 2 + 5i 6. 1 + cos 240 + i sin 240
		1. z = -3 + 5i 2. а) z = б) z = 5i913+ 2i96- 3i17+ 5i7 в) z = 3. а) 2x2 + 4x + 11 = 0 б) x3 + 125 = 0 4. 2x + y + ixy = 5. x1 = 2 -3i 6. 1 + sin 1160 + i cos 1160		1. z = 3 + 5i 2. а) z = б) z = i1201- 5i403- 3i17 + i6 в)z = 3. а) 2x2 - 13x + 100 = 0 б) x5 + 32 = 0 4. 11xy -2i = 5. x1 = -3 +i 6. 1 + cos 200 - i sin 200
№	Задания	№	Задания
	1. z = -4 + 2i 2. а) z = б) z = 2i153- 5i47+2i49- i18 в) z = 3. а) 3x2 + 4x + 13 = 0 б) x6 - 64 = 0 4. 3+x+y + 2i = 5. x1 = -3 + 5i 6. 1 + sin 220 + i cos 220		1. z = 8 - 4i 2. а) z = б) z = 2i63- 5i57+ 2i23- i10 в) z = 3. а) x2 - 8x + 21 = 0 б) x6 + 64 = 0 4. 5x + 2iy = 5. x1 = -3 - 5i 6. 1 + sin 240 + i cos 240
	1. z = 7 + 14i 2. а) z = б) z = 5i713+ 2i316- 3i15+ 5i6 в) z = 3. а) 2x2 - 8x + 13 = 0 б) x3 - 125 = 0 4. x + y + 4i = 5. x1 = 2 +7i 6. 1 + sin 2020 + i cos 2020		1. z = -1 - 4i 2. а) z = б) z = 3i313-2i202+5i15+ i17 в)z = 3. а) 2x2 + 4x + 15 = 0 б) 81x4 - 1 = 0 4. 3x +2iy = 5. x1 = 7 +i 6. 1+ cos 1160 + i sin 1160
№	Задания	№	Задания
	1. z = -3 + 5i 2. а) z = б) z = 5i114- 2i75+i36- i5 в) z = 3. а) x2 - 13x + 100 = 0 б) x4 - 81 = 0 4. 6 + 2x + 2xi = 5. x1 = 3 + 5i 6. 1 + sin 980 - i cos 980		1. z = 2 -6i 2. а) z = б) z = 5i134+ 2i79- i34- 2i7 в) z = 3. а) 2x2 + 8x + 15 = 0 б) x4 + 81 = 0 4. 9 + 7ixy = 5. x1 = -3 + 2i 6. 1+ sin 1000 + i cos 1000
	1. z = 7 + 3i 2/ а) z = б) z = 3i197- 2i101+ 3i51+ i12 в) z = 3. а) 6x2 + 4x + 1 = 0 б) 81x4 + 1 = 0 4. 6xy + 3i = 5. x1 = - 3 -5i 6. 1 - cos 160 - i sin 160		1. z = -2 - 3i 2. а) z = б) z = 3i187-2i91+ 3i33- i10 в)z = 3. а) 3x2 + 8x + 15 = 0 б) x3 - 125 = 0 4. = 2y + x + 6yi 5. x1 = 3 +5i 6. 1 - cos 180 - i sin 180
№	Задания	№	Задания
	1. z = 1 - 4i 2. а) z = б) z = i571- 2i342+3i49- 2i14 в) z = 3. а) x2 + 2x + 17 = 0 б) x5 + 243 = 0 4. 3x + 2y + ixy = 5. x1 = -2 - 3i 6. 1 + cos 160 + i sin 160		1. z = 11 + 22i 2. а) z = б) z = i197-2i142+3i79- 2i13 в) z = 3. а) 3x2 + 6x + 13 = 0 б) 64x6 - 1 = 0 4. 5xy + 2i = 5. x1 = 12 + 5i 6. 1 + cos 200 + i sin 200
	1. z = -3 - 5i 2. а) z = б) z = 5i917- 2i412- 3i17+ 5i11 в) z = 3.а) 2x2 + 4x + 11 = 0 б) 125x3 + 1 = 0 4.2x + y + ixy = 3 + x +2i 5.x1 = - 2 +3i 6. 1+ sin 1160 + i cos 1160		1.z = 7 - 14i 2.а) z = б) z = 5i717+2312- 3i15+5i6 в)z= 3.а) 2x2 + 8x + 13 = 0 б) 125x3 - 1 = 0 4. = 3 - ixy 5.x1 = 2 -7i 6. 1+ sin 2020 + i cos 2020

 

№	Задания	№	Задания
	1. z = -2 - 3i 2. а) z = б) z = 3i171- 2i123+i23- i5 в) z = 3. а) 2x2 - 6x + 13 = 0 б) x7 + 1 = 0 4. 5 + ixy = x +y +4i 5. x1 = 2 - i 6. 1+ sin 120 + i cos 120		1. z = 3 + 2i 2. а) z = б) z = 3i157- 2i103+ i15- i10 в) z = 3. а) 2x2 + 4x + 11 = 0 б) x7 - 1 = 0 4. 3x -y+ ixy = 3 + x +2i 5. x1 = 1 + 2i 6. 1+ sin 240 + i cos 240
	1. z = -5 - 2i 2. а) z = б) z = 3i147+ 2i131- i10+ i7 в) z = 3.а) 3x2 + 4x + 12 = 0 б) 32x5 + 1 = 0 4. 7xy + 3i = 2x + y + 6xi 5. x1 = 1 +5i 6. 1 - sin 220 + i cos 220		1. z = 11 + 7i 2. а) z = б) z = 3i137+2i123- i6+ i5 в)z = 3. а) 2x2 + 2x + 17 = 0 б) x5 - 32 = 0 4. = 3x + 4y + ixy 5. x1 = 5 +i 6. 1 - sin 240 + i cos 240

 

№	Задания	№	Задания
	1. z = 5 + 2i 2. а) z = б) z = 6i144+ i117-3i13+ 2i10 в) z = 3. а) 3x2 + 10x + 15 = 0 б) x6 - 64 = 0 4. 3xy -7i = x +2y +6iy 5. x1 = 3 - 2i 6. 1+ cos 220 - i sin 220		1. z = -7 + 3i 2. а) z = б) z = 6i124+ i97- 3i13+ 2i5 в) z = 3. а) 5x2 + 4x + 1 = 0 б) x6 + 64 = 0 4. 3x -1+ iy = 6xy +3i 5. x1 = 2 - 5i 6. 1+ cos 240 - i sin 240
	1. z = 3 + 5i 2. а) z = б) z = i1001- 5i507- 3i12- i8 в) z = 3.а) 2x2 - 10x + 15 = 0 б) 32x5 - 1 = 0 4. 1+3xy + ix = 9 + 7ixy 5. x1 = 1 +3i 6. 1 + cos 180 + i sin 180		1. z = 3 + 6i 2. а) z = б) z = i138+3i127- i12+ 4i7 в)z = 3. а) 2x2 - 2x + 17 = 0 б) x5 - 243 = 0 4. = 3x + 4y + ixy 5. x1 = 5 +2i 6. 1 - sin 250 + i cos 250

 

 

ЛИТЕРАТУРА

 

 

1. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление для ВТУЗов. Т. 1. – М: Наука, 1996.

 

2. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. – М: Высшая школа, 1999.

 

3. Богомолов Н.В. Практические занятия по математике. – М: Высшая школа,2007.

 

4. Киселев А.П. Алгебра. ч.2. – М: Физматлит, 2005