Радикальный признак Коши.

С ПОЛОЖИТЕЛЬНЫМИ ЧЛЕНАМИ.

Пусть даны два ряда с положительными членами

(1.18)

. (1.19)

Теорема 1. Если для рядов с положительными членами (по крайней мере, начиная с некоторого номера) и ряд (1.19) сходится, то ряд (1.18) также сходится.

Теорема 2. Если для рядов с положительными членами (по крайней мере, начиная с некоторого номера) и ряд (1.19) расходится, то ряд также расходится.

Теорема 3. Если для рядов с положительными членами существует конечный, отличный от нуля предел

то оба ряда или одновременно сходятся, или одновременно расходятся.

Докажем одну из этих теорем, например, теорему 1.

Обозначим частичные суммы рядов (1.8) и (1.9) соответственно. Поскольку конечное число членов ряда на его сходимость не влияет, то будем считать, что неравенство справедливо при всех n. Тогда при всех n. Последовательности является монотонно возрастающими, т.к. Поскольку ряд (1.9) сходится, то существует при этом а потому и при всех n. Таким образом, последовательность является монотонно возрастающей и ограниченной сверху, поэтому по теореме Ветештрасса существует конечный предел и, следовательно, ряд (1.8) сходится.

Примеры исследования сходимости числовых рядов с помощью теорем сравнения будут рассмотрены ниже.

ПРИЗНАК ДАЛАМБЕРА.

Теорема. Если для ряда (1.1) с положительными членами (), существует предел

то: 1) при - ряд сходится; 2) при - ряд расходится; 3) при - неопределенность (в этом случае теорема на вопрос о сходимости или расходимости ряда ответа не дает и нужно применять другой признак).

Доказательство. 1) Пусть . Выберем число q, удовлетворяющее неравенству Обозначим По определению предела последовательности для выбранного существует такой номер N, что при всех выполняется неравенство

или

Таким образом, при всех справедливо неравенство В частности, при получим :

при :

и т. д.

Наряду с рядом (1.1) рассмотрим ряд

(1.10)

Этот ряд является геометрическим со знаменателем , поэтому сходится. Члены ряда (1.1), начиная с номера , меньше соответствующих членов ряда (1.10) и, следовательно, по теореме сравнения ряд (1.1) сходится.

2) При начиная с некоторого номера , будет выполнять неравенство

т.е. члены ряда монотонно возрастают. Так как рассматриваемый ряд является знакоположительным, то предел общего члена ряда при не может быть равен 0 и поэтому ряд расходится.

Замечание. Признак Даламбера целесообразно использовать, когда общий член ряда содержит показательную функцию, факториалы или n сомножителей.

Пример 1. Исследовать сходимость ряда

(1.11)

Здесь

Тогда

Так как по признаку Даламбера ряд (1.11) сходится.

Пример 2. Исследовать сходимость ряда.

(1.12)

Здесь

Поскольку

То

Поэтому по признаку Даламбера ряд (1.12) сходится.

Пример 3. Исследовать сходимость ряда

(1.13)

Каждый следующий член ряда получается из предыдущего путём добавления по одному сомножителю в числителе и знаменателе т.к.

то

поэтому

следовательно, по признаку Даламбера ряд (1.13) расходится.

РАДИКАЛЬНЫЙ ПРИЗНАК КОШИ.

Теорема. Если для ряда с положительными членами (1.1), существует предел

то: 1) при -ряд сходится; 2) при - ряд расходится; 3) при - неопределенность.

Пример 1. Исследовать сходимость ряда.

(1.14)

Здесь . Тогда

поэтому по радикальному признаку Коши ряд (1.14) сходится.

Пример 2. Исследовать сходимость рада.

(1.15)

Будем использовать радикальный признак Коши.

Получим неопределенность . Сведем этот предел ко второму замечательному пределу

Выполняя преобразования, получим

Ряд расходится.

ИНТЕГРАЛЬНЫЙ ПРИЗНАК КОШИ.

Теорема. Пусть для ряда с положительными членами

члены ряда не возрастают, т.е.

и пусть непрерывная не возрастающая функция такая, что . Тогда, если не собственный интеграл , сходится, то и ряд сходится; если этот несобственный интеграл расходится, то и ряд расходится.