Числовые ряды.
Определение 1.
Пусть
бесконечная последовательность чисел, которые могут быть как вещественными, так и комплексными. Выражение
называется числовым рядом.
Иногда для обозначения ряда применяют следующую запись:
или 
, в зависимости от того, с какого элемента удобно начинать нумерацию.
Обычно элемент ряда 
описывается как некоторая функция своего номера. Аналитическое выражение этой функции часто называют «общим» членом (элементом) ряда.
Например, гармонический ряд
имеет «общий» член 
.
Определение 2.
Ряд 
, членами которого являются все члены ряда 
, начиная с (k+1)- го, взятые в том же порядке, что и в исходном ряде, называется остатком k -го порядка ряда 
, и обозначается 
, то есть
.
Определение 3.
Сумма k первых членов ряда 
называется k -ой частичной суммой или частичной суммой порядка k и обозначается 
, то есть
.
Очевидно, первая, вторая, третья и т. д. частичные суммы ряда
составляют бесконечную последовательность 
. Таким образом, каждому ряду соответствует последовательность его частичных сумм.
Определение 4.
Ряд 
называется сходящимся, если сходится (имеет предел) последовательность его частичных сумм.
Ряд называется расходящимся, если последовательность его частичных сумм расходится.
Если ряд 
сходится, то число 
называется его суммой, при этом пишут 
.
Если ряд расходится, то и его остаток 
любого порядка расходится. Если ряд сходится, то и его остаток k -ого порядка при любом k сходится, в этом случае 
, 
.
Если члены ряда - комплексные числа 
, где 
- действительные последовательности, то сходимость ряда 
эквивалентна одновременной сходимости рядов 
и 
и
.
Таким образом, исследование свойств рядов с комплексными членами сводится к исследованию рядов с действительными членами.
Пример 1. Рассмотрим ряд
Частичная сумма 
этого ряда есть 
. Следовательно, данный ряд сходится, и его сумма равна 2.
Пример 2.
Рассмотрим ряд
Поскольку для этого ряда 
, 
для любого натурального m, то последовательность не имеет предела. Следовательно, данный ряд расходится.
В большинстве случаев, непосредственный анализ последовательности не представляется возможным, поэтому основными задачами в теории числовых рядов являются установление сходимости или расходимости данного ряда без вычисления величины его суммы и оценка зависимости остатка ряда от номера k (скорость сходимости ряда).
В силу равенства 
, оценка даёт оценку погрешности при замене суммы ряда S частичной суммой 
.
Критерий Коши сходимости ряда.
Ряд 
сходится тогда и только тогда, когда для любого положительного числа ε найдётся такой номер N=N(ε), что для любых натуральных чисел p и n, n> N(ε), справедливо неравенство
.
Приведём формальную запись критерия Коши сходимости ряда:
сходится 
.
Как и при анализе последовательностей, критерий Коши редко применяется для доказательства сходимости конкретного ряда из-за технических трудностей. Область применения критерия Коши – как правило, или утверждения, в которых из сходимости одного ряда выводится сходимость другого, или установление расходимости ряда.
Пример 3.
Пользуясь критерием Коши, покажем, что гармонический ряд 
расходится. Для этого надо указать такое число 
>0, что для любого номера N и некоторой пары натуральных чисел p и n, n>N, имеет место неравенство 
.
Возьмём произвольное натуральное число n. Тогда
.
Таким образом, для =1/2 и произвольного номера N найдены натуральные числа n=N+1 и p=n,для которых 
, что и требовалось установить. Следовательно, гармонический ряд расходится.