Необходимый признак сходимости ряда.

Если ряд сходится, то .

Следует помнить, что данный признак не является достаточным!!!

Примером служит тот же гармонический ряд - расходящийся, как только что выяснили, но для которого .

Пример 4.

Ряд расходится по необходимому признаку, так как .

Ряды с положительными членами.

Существует довольно много приёмов, позволяющих устанавливать сходимость или расходимость рядов - они называются признаками сходимости. К числу признаков сходимости можно отнести теоремы, сводящие выяснение вопроса о сходимости некоторого ряда к сравнению его с другим рядом, поведение которого уже известно.

Эти теоремы называются признаками сравнения.

В этом разделе будут рассматриваться только ряды с положительными членами.

Первый признак сравнения.

Пусть два ряда и таковы, что члены первого, начиная с некоторого номера, не превосходят соответствующих членов второго:

Тогда из сходимости ряда следует сходимость ряда , а из расходимости ряда следует расходимость ряда .

Пример 5.

Рассмотрим ряд . Сравним его с уже известным нам расходящимся гармоническим рядом .

. Значит, и наш ряд расходится по признаку

сравнения.

Пример 6.

Рассмотрим ряд . Для выяснения вопроса о его сходимости сравним его с рядом - это рассмотренная нами выше сумма геометрической прогрессии (см. Пример 1).

В данном случае все члены нашего ряда не превосходят членов сходящегося ряда, и множитель n в знаменателе только «усиливает» сходимость: .

Также необходимо помнить, что ничего нельзя сказать о сходимости ряда, все члены которого не превосходят членов расходящегося ряда, так и о сходимости ряда, все члены которого превосходят члены сходящегося ряда.

Например, члены рядов и меньше членов расходящегося гармонического ряда , однако ряд является расходящимся, а ряд - сходящимся!

Второй признак сравнения.

Если даны два ряда и , и выполняется соотношение

, то и сходятся или расходятся одновременно.

Пример 7.

Ряд «ведёт себя» подобно гармоническому ряду а именно, расходится, так как .

В качестве рядов, используемых для сравнения, чаще всего применяются ряды вида (их называют рядами Дирихле) и , где С – постоянная или ограниченная величина.

Изучить их поведение попробуем с помощью

Интегрального признака сравнения Коши.

Пусть дан ряд , и каждый его член можно представить в виде значения какой-нибудь функции f от номера члена: .

Доопределив данную функцию для всех x на интервале [1;∞), можно говорить о непрерывной функции f(x) на интервале [1;∞), а также о существовании несобственного интеграла .

Итак, если дан ряд , члены которого положительны и не

возрастают, дана функция f(x), определённая на интервале [1;∞),

непрерывная и невозрастающая на нём и ,тогда для сходимости ряда необходимо и достаточно, чтобы сходился интеграл .

Пример 8.

Рассмотрим поведение рядов Дирихле в зависимости от p.

Для них f(x)= . В этом случае

Для случая p=1 f(x)=1/x

- интеграл расходится, что ещё раз доказывает расходимость гармонического ряда.

Итак, ряды вида сходятся при p>1 и расходятся при p<1 и при p=1.

Пример 9.

В данном случае можно применить признак сравнения с рядом Дирихле после преобразования общего члена ряда с помощью формул Тейлора. Напомним их:

С помощью формулы (5) получим:

С помощью формулы (4) можем получить:

Тогда

Имеем ряд Дирихле , где p=1+ . Такой ряд сходится при p>1, то есть при >0, и расходится при p≤1, то есть при ≤0.

Пример 10. Ряд .

Применим интегральный признак: f(x)= , несобственный интеграл сходится. Следовательно, сходится и ряд .

Пример 11. Ряд .

Случай p=1. f(x)= . Применяем интегральный признак: - несобственный интеграл, а, вместе с ним и ряд расходятся.

Случай p≠1:

Вместе с соответствующим несобственным интегралом, в зависимости от p, ряд сходится при p>1 и расходится при p≤1.

Необходимо отметить ещё один момент: множество сходящихся рядов образуют линейное пространство. Этим тоже можно пользоваться для установления сходимости рядов. А именно: если исследуемый ряд может быть представлен в виде конечной линейной комбинации сходящихся рядов, то он сходится.

Пример 12. . Так как и каждый из рядов сходятся (см. пример 1), то и ряд сходится.

Если исходный ряд может быть представлен в виде линейной комбинации сходящегося и расходящегося рядов, то он расходится.

Пример 13.

Рассмотрим ряд . Так как , ряд сходится, а ряд расходится, то ряд расходится.

Множество всех расходящихся рядов не образуют линейное пространство! Поэтому их конечные линейные комбинации могут образовывать как сходящийся, так и расходящийся ряд.

Пример 14.

Рассмотрим ряд .