Методы нахождения точечных оценок

Основы математической статистики

Введение

Математическая статистика - раздел математики, в котором изучаются методы сбора, систематизацияи обработка результатов наблюдений массовых случайных явлений для выявления существующих закономерностей.

Предметом мат.статистики является создание с помощью теории вероятностей рациональных приемов и методов получения, описания и обработки опытных данных в целях изучения закономерностей массовых случайных явлений.

Цель изучения: дать практические навыки по использованию статистических методов обработки и анализа экспериментальных данных при последующем выполнении им курсовых и дипломных работ.

Значение: Методы Мат.статистики позволяют расширить возможности научного прогнозирования и принятия наиболее рациональных решений по многим вопросам науки и практики.

Задачи изучения основ математической статистики:

1. Обработать(упорядочить) данные результатов наблюдения;

2. Оценить интересующие нас характеристики;

3. Проверить статистические гипотезы.

Лекция №8

Задача №1. Представление статистических данных

Под генеральной совокупностью (ГС) подразумеваются все возможные наблюдения некоторого качественного или количественного показателя (признака), все исходы случайного испытания или вся совокупность реализаций случайной величины (С.В.).

Для исследования ГС применяют 2 основных подхода:

1. Метод сплошных наблюдений;

2. Выборочный метод.

На практике в большинстве случаев используют второй способ

исследования. Он основан на том, что из всей ГС случайным способом отбирают часть элементов – называемых выборкой. Выборка является математической моделью n независимых измерений (или наблюдений), проводимых в одинаковых условиях.

Исходные числовые данные, как правило, представлены в виде неупорядоченного множества. Различные значения изучаемого признака Х (случайной величины) называются вариантами.

Первый шаг обработки статистического материала – этот его упорядочение, расположение вариантов в порядке неубывания, т.е. ранжирование.

Числа , показывающие, сколько раз встречаются варианты в выборке, называются частотами, а отношение их к общему числу наблюдений

(объему выборки) – относительными частотами : .

Очевидно, что , .

Ранжированный ряд вариантов с соответствующими частотами или относительными частотами называется вариационным рядом. Вариационный ряд является статистическим аналогом ряда распределения дискретной случайной величины, а относительные частоты значений признака – оценками вероятностей соответствующих значений изучаемой случайной величины.

Если число возможных значений С.В. велико, построение вариационного ряда не целесообразно. При больших объемах выборок варианты разбивают на непересекающиеся интервалы. Полученный ряд называется интервальным вариационным рядом. Число интервалов m следует брать не очень большим, чтобы после группировки ряд не был громоздким, и не очень малым, чтобы не потерять особенности распределения признака.

Согласно формуле Стерджеса рекомендуемое число интервалов

,

а величина интервала

Полигон, представляет собой ломаную, проходящую через точки с координатами ‑ полигон абсолютных частот, или ‑ полигон относительных частот.

Гистограмма служит для наглядного изображения интервальных вариационных рядов и представляет собой ступенчатую фигуру из прямоугольников с основаниями, равными величинам интервалов значений признака и высотами, равными частотам или относительным частотам интервалов.

! Если соединить середины верхних оснований прямоугольников отрезками прямой, то получится полигон того же распределения(см. рис.1).

Рис.1.

Задача №2. Оценка неизвестных параметров

Важной задачей мат. статистики является нахождение приближенных значений неизвестных параметров распределения С.В. по опытным выборочным данным ( характеристики вариационных рядов).

Напомним общие числовые характеристики С.В.

Мат. ожидание М (Х)- характеризует среднее значение признака Х;

Дисперсия - характеризует разброс значений признака Х;

Среднее квадратичное отклонение - описывает абсолютный разброс значений признака Х;

Коэффициент вариации - характеризует относительную изменчивость признака Х (однородность его распределения).

Используют два вида статистических оценок точечная и интервальная.

Точечные оценки, определяются одним числом.

Название точечной оценки	Обозначение	Формула
выборочное среднее
выборочная дисперсия
выборочное стандартное отклонение
коэффициент вариации
При малых n < 30
исправленная дисперсия
исправленное квадратичное отклонение

Методы нахождения точечных оценок

· Метод моментов;

· Метод максимального правдоподобия;

· Метод наименьших квадратов

Точечные оценки хороши для первоначальных результатов обработки наблюдений и неизвестно с какой точностью они дают оцениваемый параметр.

Иинтервальной - называетсяоценка, которая определяется двумя числами- концами доверительного интервала, в котором с заданной доверительной вероятностью (близкой к 1) находится неизвестный оцениваемый интервал.

Название интервальной оценки	Обозначение	Формула, условия
Мат. ожидание	а
Точность оценки
Доверительный интервал	( -; +)	а ( -; +)
Заданная доверительная вероятность (надежность)