Доверительные интервалы для нормального распределения




 

Если ГС подчиняется нормальному закону распределения и объем выборки достаточно велик (n > 30), то справедлива формула

 

,

где - функция Лапласа, .

Зная -доверительную вероятность, находим по таблице значений функции Лапласа (приложение 1) t, затем по формуле находим .

Задача №3. Проверка статистических данных

В процессе статистического анализа иногда бывает необходимо сформулировать и проверить предположения (гипотезы) относительно величин независимых параметров или закона распределения изучаемой ГС.

Статистическими гипотезами называются различного рода предположения о распределениях генеральных совокупностей, которые необходимо проверить по данным выборочных совокупностей.

Сопоставление выдвинутой гипотезы относительно генеральной совокупности с имеющимися выборочными данными, сопровождаемое количественной оценкой степени достоверности получаемого вывода и осуществляемое с помощью того или иного статистического критерия, называется проверкой статистических гипотез.

Требуется указать правило (критерий), при помощи которого можно было бы по выборке решить вопрос о том, следует ли отклонить гипотезу Н или принять ее.

Выдвинутая гипотеза называется нулевой. Ее принято обозначать . Наряду с нулевой гипотезой рассматривают альтернативную, или конкурирующую, гипотезу , являющуюся логическим отрицанием . Нулевая и альтернативная гипотезы представляют собой две возможности выбора, осуществляемого в задачах проверки статистических гипотез.

Цель статистической проверки гипотез состоит в том, чтобы на основании выборочных данных принять решение о справедливости основной гипотезы .

По своему содержанию статистические гипотезы можно подразделить на несколько основных типов:

‑ гипотезы о виде распределения исследуемой генеральной совокупности;

‑ гипотезы о числовых значениях параметров распределения исследуемой генеральной совокупности;

‑ гипотезы об однородности одной или нескольких выборок или некоторых характеристик анализируемых совокупностей;

‑ гипотезы об общем виде модели, описывающей статистическую зависимость между признаками; и др.

Проверка статистических гипотез осуществляется с помощью статистического критерия , являющегося функцией результатов наблюдений.

Статистический критерий – это некоторая функция выборки , характеризующая степень соответствия выборочных данных данной статистической гипотезе . Так как проверка статистических гипотез осуществляется на основании выборочных данных, т. е. ограниченного ряда наблюдений, решения относительно нулевой гипотезы имеют вероятностный характер. Другими словами, такое решение неизбежно сопровождается некоторой, хотя возможно и очень малой, вероятностью ошибочного заключения.

Так, в какой-то небольшой доле случаев нулевая гипотеза может оказаться отвергнутой, в то время как в действительности в генеральной совокупности она является справедливой. Такая ошибка называется ошибкой 1-го рода, а ее вероятность – уровнем значимости и обозначается .

Наоборот, в какой-то небольшой доле случаев нулевая гипотеза принимается, в то время как на самом деле в генеральной совокупности она ошибочна, а справедлива альтернативная гипотеза . Такая ошибка называется ошибкой 2-го рода. Вероятность ошибки 2-го рода обозначается .Вероятность равная называется мощностью критерия.

Результаты решения относительно нулевой гипотезы можно проиллюстрировать с помощью таблицы.

Классификация ошибок при принятии гипотез

Нулевая гипотеза Результаты решения относительно нулевой гипотезы
Отклонена Принята
Верна Ошибка 1-го рода, ее вероятность Правильное решение, его вероятность
Неверна Правильное решение, его вероятность Ошибка 2-го рода, ее вероятность

 

 

Критерием согласия называют статистический критерий проверки гипотезы о предполагаемом законе неизвестного распределения.

! Как правило, в качестве критерия принимают величину отклонения некоторой эмпирической характеристики от ее теоретического аналога.

Проверка каждого типа статистических гипотез осуществляется с помощью соответствующего критерия, являющегося наиболее мощным в каждом конкретном случае. Например, проверка гипотезы о виде закона распределения генеральной совокупности может быть проведена с помощью критерия согласия Пирсона ; проверка гипотезы о равенстве неизвестных значений дисперсий двух генеральных совокупностей – с помощью критерия Фишера ; ряд гипотез о неизвестных значениях параметров генеральных совокупностей проверяется с помощью критерия -Стьюдента и т. д.

Значение критерия, рассчитываемое на основании выборочных данных, называется наблюдаемым (наблюдённым) значением критерия ().

Алгоритм проверки статистических гипотез сводится к следующему:

1. Сформулировать нулевую и альтернативную гипотезы;

2. Задать уровень значимости ;

3. В соответствии с видом выдвигаемой гипотезы выбрать cтати-

стический критерий для ее проверки, т. е. специально подобранную случайную величину , точное или приближенное распределение которой заранее известно;

4. По таблице распределения случайной величины найти критиче-

скую точку (или точки) ;

5. На основании выборочных данных по специальному алгоритму

вычислить наблюдаемое значение критерия ;

6. По виду содержанию альтернативной гипотезы определить тип

критической области;

7. Определить, в какую область (допустимых значений или критиче-

скую) попадает наблюдаемое значение критерия , и в зависимости от этого – принять решение относительно нулевой гипотезы .

 



Поделиться:




Поиск по сайту

©2015-2024 poisk-ru.ru
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.
Дата создания страницы: 2016-08-20 Нарушение авторских прав и Нарушение персональных данных


Поиск по сайту: