Основы метода конечных элементов

Метод конечных элементов (МКЭ) позволяет приближенно описать множество физических задач [ ], которые математически формулируются в виде системы дифференциальных уравнений или в вариационной постановке. Этот метод можно использовать для анализа напряженно-деформированного состояния конструкций, для термического анализа, для решения гидро- и газодинамических задач и задач электродинамики. Могут решаться и связанные задачи.

Историческими предшественниками МКЭ были методы строительной механики и механики деформируемого твердого тела, в частности, метод сил и метод перемещений [ ]. Основные идеи и процедуры МКЭ впервые были использованы Курантом [ ] в 1943 году при решении задачи о кручении стержня. Но только с 50-х годов началось активное практическое применение МКЭ сначала в области авиации и космонавтики, а затем и в других направлениях. Термин «конечные элементы» ввел в 1960 году Клаф [ ]. Развитию этого метода способствовало совершенствование цифровых электронных вычислительных машин.

Область применения МКЭ значительно расширилась, когда для его обоснования стали применяться методы взвешенных невязок Галеркина и наименьших квадратов [ 6, 8 ]. МКЭ превратился в универсальный способ решения дифференциальных уравнений.

Основные понятия МКЭ

Исходным объектом для применения МКЭ является материальное тело, которое разбивается на части – конечные элементы. (см. рисунок) В результате дискретизации создается сетка из границ элементов. Точки пересечения этих границ образуют узлы. На границах и внутри элементов могут быть созданы дополнительные узловые точки. Ансамбль из всех конечных элементов и узлов является основной конечно–элементной моделью деформируемого твердого тела.

Рисунок – Материальное тело, разбитое на конечные элементы

Дискретная модель должна максимально полно покрывать область исследуемого объекта. Выбор типа, формы и размера конечного элемента зависит от формы тела и вида напряженно–деформированного состояния. Конечные элементы наделяются различными свойствами, которые задаются с помощью констант и опций. Все элементы и узлы нумеруются. Нумерация узлов бывает общей (глобальной) для всей конечно–элементной модели и местной (локальной) внутри элементов. Нумерацию элементов и общую нумерацию узлов желательно производить так, чтобы трудоемкость вычислений была наименьшей. Существуют алгоритмы оптимизации этой нумерации. Должны быть определены массивы связей между номерами элементов и общими номерами узлов.

В задачах деформирования, прежде всего, нужно указать упругие свойства – модуль упругости и коэффициент Пуассона. Для динамических задач необходимо определить материал и, возможно, коэффициент вязкого демпфирования.

Состояние тела характеризуется конечным числом независимых параметров, определенных в узлах конечно–элементной сетки. Такие параметры называются степенями свободы. В деформационных задачах в качестве степеней свободы применяются перемещения узлов, среди компонентов которых могут быть и угловые перемещения. Координаты узлов, перемещения узлов и произвольных точек элементов, силы и другие объекты могут определяться в различных системах отсчета (системах координат). В алгоритме МКЭ используются общая (глобальная) система координат, привязанная ко всей конечно –элементной модели (см. рисунок), и местные (локальные) системы координат, связанные с конкретными конечными элементами, в силу чего их называют элементными системами отсчета. Переход от одной системы отсчета к другой производится с помощью матриц преобразования.

В деформационной задаче число степеней свободы одного узла зависит от типа задачи и от системы отсчета. На рисунке показан узел i, имеющий в общей системе координат x, y, z три степени свободы, составляющих узловой вектор степеней свободы (перемещений). В общей системе координат этот вектор может быть записан в виде:

Если узел i имеет n степеней свободы, а конечный элемент включает n_e узлов, то число степеней свободы одного элемента равно . Число степеней свободы всей модели, имеющей n однотипных узлов равно . Набор всех степеней свободы модели составляет общий (глобальный) вектор степеней свободы (т.е. узловых перемещений модели), в котором нумерация степеней свободы может быть общей или по номерам узлов с добавлением индекса узловой степени свободы:

где подматрица, составленная из всех n_i компонентов перемещения узла i. В частности, для трехмерной задачи при использовании общей декартовой системы координат х, у, z эта подматрица является вектором перемещений узла (1). Переход от узловой нумерации к общей очевиден. Например, для рассмотренного выше случая трех степеней свободы в узле формулы преобразования имеют следующий вид: .