Разрешающие уравнение МКЭ




Из условий равновесия узлов или с помощью вариационных принципов, а также методов невязок, применяемых ко всей конечно- элементной модели, составляется общая система уравнений равновесия всей конечно-элементной модели исследуемого деформируемого тела. Для статических задач она имеет вид:

где общая (глобальная) матрица жесткости конечно-элементной модели;

{ Р } общий вектор заданных внешних узловых сил;

общие (глобальные) векторы узловых сил, эквивалентных распределенным поверхностным и массовым силам, начальным деформациям, начальным напряжениям.

Компоненты матрицы являются коэффициентами жесткости модели. Они вычисляются путем суммирования соответствующих коэффициентов жесткости конечных элементов. Матрица жесткости для конечно-элементной модели обладает симметрией, имеет ленточную структуру и редкое заполнение.

Общий вектор заданных внешних узловых сил {Р} можно пред­ ставить в виде:

где подматрица из n1 компонентов силы, приложенной в узле i. Для трехмерной задачи будем иметь . Как видно из выражения (6), индексация компонентов может быть или по общим номерам степеней свободы модели или по общим номерам узлов с добавлением индекса узловой степени свободы, как у общего вектора узловых перемещений (2).

Общие (глобальные) векторы узловых сил собираются из компонентов соответствующих элементных векторов. Их структура такая же, как у вектора .

В динамических задачах на основании принципа Даламбера в уравнения (5) добавляются силы инерции. Так как силы инерции выражаются через ускорения, которые являются вторыми производными от перемещений, то уравнения равновесия (5) превращаются в общие (глобальные) дифференциальные уравнения движения, в которых внешние силы могут быть переменными:

где и общие (глобальные) матрицы масс и демпфирования модели, которые собираются из компонентов соответствующих элементных матриц.

С помощью уравнений (7) выполняются различные виды динамического анализа: модальный анализ, где определяются собственные частоты и формы конструкций; гармонический анализ, где определяется отклик системы на внешнюю периодическую силу с различной частотой; полный анализ динамического процесса, где производится интегрирование дифференциальных уравнений движения.

В статических задачах задаваемые перемещения (связи) должны исключать возможность перемещения нагруженной конструкции как абсолютно твердого тела. Только в этом случае разрешающая система уравнений (5), после учета граничных условий, будет иметь единственное решение. До учета связей исходная система (5) имеет линейно зависимые уравнения, определитель ее матрицы жесткости равен нулю, следовательно, матрица жесткости свободного тела является сингулярной, и нельзя найти однозначного решения для узловых перемещений. [5, 7] Динамические задачи, описываемые уравнениями (7), могут решаться без наложения связей - перемещений.

 

Решение уравнений МКЭ

Общая система уравнений равновесия (5), полученная методом конечных элементов для статической линейно-упругой модели тела, является, с математической точки зрения, системой линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). После учета правильно наложенных связей, не допускающих движения модели как абсолютно твердого тела, определитель матрицы жесткости [К] не равен нулю и, следовательно, существует единственное решение - общий вектор узловых перемещений {U}.

Точность и эффективность различных способов решения СЛАУ (5) во многом зависит от структуры и свойств матрицы [К]: размера, обусловленности, симметричности, заполненности и др. [2]. Известные алгоритмы решения СЛАУ можно разделить в основном на две группы: прямые методы и итерационные методы [1, 2, 5, 6].

Прямые («точные») методы позволяют получать с помощью конечного числа операций точные значения неизвестных, если коэффициенты и правые части уравнений заданы точно и нет округлений при вычислениях. Среди множества прямых методов наибольшее применение имеют: метод исключения неизвестных Гаусса, метод квадратного корня, а также их разновидности, в частности, фронтальный метод и схема разложения Холецкого.

Итерационные методы характеризуются тем, что вначале задаются некоторыми приближенными значениями неизвестных. Затем с помощью каких-либо алгоритмов их последовательно уточняют, приближаясь к точному решению. Наиболее часто используются метод прямой итерации, метод Гаусса-Зейделя, метод последовательной верхней релаксации, градиентные методы наискорейшего спуска и сопряженных градиентов.

Дифференциальные уравнения движения (7) интегрируются различными численными методами [5]. В результате находятся узловые перемещения. Через них определяются все другие искомые величины так же, как функции времени.

Конечно-элементные модели могут быть нелинейными. Модель деформирования физически нелинейна, если в ней учитывается нелинейное поведение материала - нелинейная упругость, текучесть, ползучесть и др. Геометрическая нелинейность при деформировании обусловлена большими деформациями и большими перемещениями.

Нелинейные задачи решаются итерационными методами, при этом на каждой итерации рассматриваются квазилинейные уравнения. В практических вычислениях часто применяется метод Ньютона- Рафсона и его модификации [5]. Для нелинейных задач деформирования иногда эффективны методы переменных параметров упругости, начальных деформаций и начальных напряжений. Если в нелинейной задаче важна история нагружения, нужно производить решение малыми шагами нагрузки.



Поделиться:




Поиск по сайту

©2015-2024 poisk-ru.ru
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.
Дата создания страницы: 2016-08-20 Нарушение авторских прав и Нарушение персональных данных


Поиск по сайту: