основание позиционной системы счисления – это количество различных знаков или символов, которые используются для изображения цифр в данной системе счисления.
| Основание системы счисления | Цифры, используемые в системе счисления 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 0, 1 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, А, B, C, D, E, F |
В принципе основанием системы счисления может быть любое натуральное число – два, три, четыре. Следовательно, возможно бесчисленное множество позиционных систем счисления: двоичная, троичная, четверичная и т.д.
Закономерность построения позиционных чисел имеет математическое представление.
Введем обозначения:
q – основание системы счисления;
ai – любая цифра из множества цифр, принятых в данной системе счисления;
i – индекс, который обозначает номер позиции, занимаемой цифрой в числе.
Позицию для целых чисел обозначим номерами 1,2,…, n, а позиции в правильных дробях – номерами -1, -2,…, -m.
Тогда любое число А в произвольной позиционной системе счисления с основанием q можно записать следующим образом:
An = an-1q n-1 + an-2 + … + a1q 1 + a0q 0 + a -1q -1 + … + a – mq -m, (1)
где ai удовлетворяет неравенству
и принимает в этом диапазоне только целые значения,
q называется весом i – го разряда.
Для десятичной системы счисления понятие веса разряда соответствует названиям позиций – единицы, десятки, сотни, десятые доли, сотые доли и т.д.
ПРИМЕР:
Для десятичной системы счисления
Разряды 3 2 1 0
Число 2 1 2 410 = 2 х 103 + 1 х 102 + 2 х 101 + 4 х 100
Для двоичной системы счисления
Разряды 3 2 1 0 -1
Число 1 0 0 1, 1 2 = 1 х 23 + 0 х 22 + 0 х 21 + 1 х 2 0 + 1 х 2-1
Для восьмеричной системы счисления
Разряды 3 2 1 0 -1 -2
Число 3 0 5 2, 4 1 8 = 3 х 83 + 0 х 82 + 5 х 81 + 2 х 8 0 + 4 х 8-1 +1 х 8-2
3 Образование целых чисел в позиционных системах счисления. Правило счета.
В каждой системе счисления цифры упорядочены в соответствии с их значениями: 1 больше 0, 2 больше 1 и т.д.
Существует понятие продвижение цифры, которое означает замену ее следующей по величине.
Например, продвинуть цифру 1 значит заменить ее на 2, продвинуть цифру 2 значит заменить ее на 3 и т.д. Продвижение старшей цифры означает замену ее на 0.
Целые числа в любой системе счисления порождаются с помощью Правила счета:
Для образования целого числа, следующего за любым данным целым числом, нужно продвинуть самую правую цифру числа. Если какая-либо цифра после продвижения стала нулем, то нужно продвинуть цифру, стоящую слева от нее.
Применяя это правило, запишем первые пять целых чисел:
2{0,1} – в двоичной системе: 0, 1, 10, 11, 100,………..
3{0,1,2} – в троичной системе: 0, 1, 2, 10, 11,…………
5{0,1,2,3,4} – в пятеричной системе: 0, 1, 2, 3, 4,………….
8{0,1,2,3,4,5,6,7} – в восьмеричной системе: 0, 1, 2, 3, 4,………….
ЗАДАНИЕ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ. Применяя правило счета, запишите продвижение пяти целых чисел, следующих за указанным в варианте:
| Номер варианта | Число | Номер варианта | Число |
| 1102 | 1013 | ||
| 203 | 156 | ||
| 115 | 116 | ||
| 56 | 134 | ||
| 34 | 147 | ||
| 47 | 158 | ||
| 78 | 1112 | ||
| 10102 | 11002 |
4 Таблица соответствия между системами счисления
Кроме десятичной системы счисления используются системы счисления с основанием, являющимся целой степенью числа 2:
# двоичная (используются цифры 0,1)
# восьмеричная (используются цифры 0,1,…,7)
# шестнадцатеричная (для первых целых чисел от нуля до девяти используются цифры 0,1,2,…,9, а для следующих чисел – от десяти до пятнадцати – в качестве цифр используются символы A, B, C, D, E, F).
Таблица соответствия между числами в этих системах счисления приведена ниже:
| 10 - я | 2 - я | 8 - я | 16 -я | 10 - я | 2 - я | 8 - я | 16 -я | |
| A | ||||||||
| B | ||||||||
| C | ||||||||
| D | ||||||||
| E | ||||||||
| F | ||||||||
Двоичная система имеет некоторые преимущества перед другими системами счисления, например:
& для ее реализации нужны технические устройства с двумя устойчивыми состояниями (есть ток – нет тока, намагничен – не намагничен и т.п.)
& представление информации посредством только двух состояний надежно и помехоустойчиво
& возможно применение аппарата Булевой алгебры для выполнения логических преобразований информации
& двоичная арифметика намного проще десятичной
Недостатком двоичной системы считается малая мощность ее алфавита (всего 2 числа – нуль и единица), вследствие чего представление числа «удлиняется» по сравнению с другими системами. Например, число 1024 в десятичной системе занимает 4 разряда, в двоичной - 11 разрядов (100000000002), в 16-ной – 3 (40016).
5 Правила перевода чисел из одной системы счисления в другую
5.1 Перевод целого положительного числа из десятичной системы счисления в любую другую позиционную систему
Для перевода целого десятичного числа N в систему счисления с основанием q необходимо:
разделить исходное число N на основание системы q
2. выделить целую часть частного и остаток. Остаток будет являться младшим разрядом числа
целая часть принимается за исходное число и повторяется пункт 1.
ПРИМЕР: Переведем число 53 из десятичной системы счисления в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную.
в двоичную
в восьмеричную
в шестнадцатеричную
Сделаем проверку. Используя формулу (1), переведем найденные числа в десятичную систему счисления.
110 1012 = 1х25 + 1х24 + 0х23 + 1х22 + 0х21 + 1х20 = 32+ 16+ 0+ 4 + 0+ 1 = 5310
658 = 6 х 81 + 5 х 80 = 48 + 5 = 5310
3516 = 3 х 161 + 5 х 160 = 48 + 5 = 5310
ЗАДАНИЕ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ. Перевести целое число из десятичной системы счисления в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную, аналогично примеру и сделать проверку.
| Номер варианта | Число | Номер варианта | Число |
5.2 Перевод правильной десятичной дроби в любую другую позиционную систему счисления
Для перевода правильной десятичной дроби F в систему счисления с основанием q необходимо: