В) Разветвленная симметричная магнитная цепь

В разветвленной магнитной цепи магнитные потоки в общем случае различны в разных ветвях.

Симметричную магнитную цепь мысленно можно разделить на неразветвленные цепи таким образом, что во всех участках выделенной цепи магнитный поток будет один и тот же. Кроме того, предполагается симметричное расположение намагничи­вающих сил.

Симметричная магнитная цепь рис. 26 состоит из двух одина­ковых контуров. Средний стержень вместе с катушкой — источником намагничивающей силы — одинаково входит в оба контура.

Рис. 26

Место соединения среднего стержня с ярмом является узлом маг­нитной цепи, в котором магнитный поток делится на два равных потока, если магнитное сопротивление обоих контуров одинаковое.

Расчет разветвленной симметричной цепи из-за равенств потоков симметричных контуров сводится к расчету одного контура, который выполняется в том же порядке, что и расчет неразветвленной цепи.

Расчет симметричной разветвленной магнитной цепи (прямая задача) рассмотрим на примере. На среднем стержне Ш-образного симметричного сердечника, выполненного из электротехнической стали Э-21 (1311), расположена обмотка с числом витков w=515 (рис. 26). Якорь А этой разветвленной магнитной цепи выполнен из стали Э- 42 (1512). Между якорем А и сердечником находится воздушный зазор l₃ = 0,2 мм. Размеры магнитной цепи даны в мм.

Определим величину тока в обмотке, расположенной на среднем стержне, при котором в якоре А создается магнитная индукция В_А=1.2 Тл.

Разделим магнитную цепь по оси симметрии (ОО ^/) на две равные части. Каждая часть рассчитывается отдельно, как неразветвленная неоднородная магнитная цепь. Магнитный по­ток Ф в каждой части определяется по заданной магнитной индукции в якоре. В каждой части (половине) вычисленный магнитный поток замыкается через якорь, Ш-образный участок магнитопровода и два воздушных зазора.

1. По вычисленному потоку Ф определяем магнитную индук­цию в однородных участках

на участке l₁ В₁=1.4 Тл

на участке l₂ В₂=1.2 Тл

в зазоре бокового стержня — В₃₂ = В₂=1.2Тл

в зазоре среднего стержня — В₃₁= В₁ =1.4 Тл

в якоре — В_А = 1,2 Тл.

2. Напряженность магнитного поля для ферромагнитных участков Н_А, Н₁ и Н₂ определяем по кривым намагничивания.

Напряженность магнитного поля в воздушных зазорах Н₃₁ и Н₃₂ – по формуле

3. Величину тока определяем из уравнения, составленного по закону полного тока:

Таким образом, индукцию B_A= 1,2 Тл в якоре разветвленной магнитной цепи создает ток 1=2 А.

 

Г) Разветвленная несимметричная магнитная цепь

Прямая задача

По заданным магнитным потокам участков магнитопровода, его конфигурации и размерам S_k и ℓ_k, а также кривым намагничивания В_k (Н_k) определить МДС цепи F = Iw.

Задача решается для каждого участка магнитопровода по схеме:

В разветвленной магнитной цепи по заданному магнитному потоку на одном участке цепи, геометрическим размерам и кривым намагничивания материала участков. МДС можно найти, исходя из законов для магнитной цепи:

 

Обратная задача

По заданным значениям МДС F = IW, размерам магнитопровода ℓ_k, S_k и кривым намагничивания В_k (Н_k) определить магнитные потоки в магнитопроводе.

Для разветвленной магнитной цепи в общем случае такую цепь рассчитывают графически по аналогии с расчетом нелинейных электрических цепей постоянного тока с двумя узлами.

Сначала задаются направлением магнитных потоков в стержнях магнитопровода. Затем составляют эквивалентную схему. На которой указывают направления МДС и потоков, после чего по эквивалентной схеме составляют уравнения для магнитной цепи.

Уравнения решают графически в следующем порядке:

1. кривые намагничивания ферромагнитного материала каждого участка В_k (Н_k) перестраивают в виде Ф_k = В_k S_k = ƒ(Н_k ℓ_k);

2. с помощью характеристик Ф_k (Н_k ℓ_k) строят зависимости Ф_k (U _{m ab}), где U _{m ab} – магнитное напряжение между узлами ab,

3. согласно закону непрерывности магнитных силовых линий складывают соответствующие ординаты характеристик, получая кривую Ф_k (U _{m ab});

4. проводя прямую, параллельную оси, на которой отложены потоки Ф_k через точку пересечения кривой Ф (U _{m ab}) и кривой, полученной по закону ∑Ф = 0, определяют неизвестные потоки во всех стержнях магнитопровода.

5. Схема магнитной цепи (рис.27)и эквивалентная схема (рис. 28)

рис.27 рис. 28

Вебер – амперные характеристики нелинейных элементов заданы графически (рис. 29).

 

рис. 29

 

Для эквивалентной схемы справедливы соотношения: Ф₃ = Ф₂ +Ф ₁

U _{m ab} = I₁ w₁ – Ф₁ (Н₁ ℓ₁)

U _{m ab} = I₂ w₂ – Ф₂ (Н₂ ℓ₂)

U _{m ab} = Ф₃ (Н₃ ℓ₃)

Графическое решение задачи (рис.30):

 

рис.30

ПРИМЕРЫРЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

1. На кольцо из листовой стали с прямоугольным сечением (рис. П1) равномерно нанесена обмотка с числом витков ω = 300. Внутренний диаметр кольца d = 20 см, наружный диаметр D = 24 см, толщина кольца b = 6 см, ширина кольца a = (D - d)/2 = 2 см. Определить ток I, при котором магнитный поток в сердечнике Вб, для случаев, когда кольцо замкнуто и имеет разрез шириной δ = 5 см, а также ток I ′ катушки при наличии сердечника из немагнитного материала.

 

Рис. П1

 

Решение

Сечение сердечника магнитопровода:

Магнитная индукция в замкнутом сердечнике:

Тл

Напряженность магнитного поля в замкнутом сердечнике определяется кривой намагничивания В(Н): при В_с = 0,855 Тл, Н_с = 5 А/см = 500 А/м.

Длина средней силовой линии (средняя длина магнитопровода):

см

Магнитодвижущая сила замкнутого сердечника:

А

Ток в обмотке находят из уравнения, составленного по закону полного тока:

А

Если кольцо имеет разрез, магнитную цепь можно рассматривать состоящей из двух последовательно соединённых участков (стальной магнитопровод и воздушный зазор). Пренебрегая потоком рассеяния, можно принять, что магнитная индукция в воздушном зазоре и стальном магнитопроводе одинакова: В₀ = В_с = 0,835 Тл.

Напряжённость магнитного поля в воздушном зазоре:

А/см

где магнитная постоянная

Напряжённость магнитного поля в стальном сердечнике (определяем по кривой намагничевания для литой стали): для В_с = 0,855 Тл, Н_с = 5 А/см = 500 А/м.

Магнитодвижущая сила при наличии в сердечнике воздушного зазора:

А

где - средняя длина магнитопровода без воздушного зазора.

Ток в катушке при наличии воздушного зазора:

А

Изменение тока в обмотке вследствие наличия воздушного зазора:

А

Магнитная индукция в сердечнике из немагнитного материала: В₀ = В_с = 0,835 Тл.

Напряжённость магнитного поля при наличии сердечника из немагнитного материала:

А/см

Ток в катушке определяют из уравнения, составленного по закону полного тока:

А

2. Кольцевой сердечник из листовой стали (рис. П2) с равномерно распределённой катушкой имеет размеры: внутренний диаметр d = 20 см, наружный диаметр D = 24 см и воздушный зазор δ = 2 мм. Определить магнитодвижущую силу F, необходимую для создания в воздушном зазоре магнитной индукции В = 1 Вб/м².

Рис. П2

Решение

Напряженность магнитного поля в сердечнике магнитопровода определяется по кривой намагничивания В(Н) для литой стали. Пренебрегая потоками рассеяния, принимаем, что магнитная индукция в воздушном зазоре и в стали одинакова: В₀ = В_с = 1 Вб/м² = 1 Тл, чему соответствует
Н_с = 700 А/м.

Средняя длина магнитной силовой линии кольцевого магнитопровода:

см

Напряжённость магнитного поля в воздушном зазоре:

А/м

(так как абсолютная магнитная проницаемость μ_а = μ₀μ, а для воздуха μ = 1, то μ_а = μ₀).

Определяем магнитодвижущую силу катушки исходя из закона полного тока:

А

где - средняя длина магнитопровода без воздушного зазора.

 

3. На прямоугольный сердечник (рис. П3), размеры которого заданы в мм, намотана катушка с числом витков ω_к = 1000. Сердечник набран из листовой электротехнической стали марки 1512(Э42) с толщиной листов 0,5 мм и имеет коэффициент заполнения сталью κ_з = 0,93. Якорь сердечника установлен с зазором 2 мм. Определить ток в катушке, необходимый для создания в зазоре магнитного поля с индукцией В_б = 1,2 Тл. Коэффициент рассеяния магнитного потока катушки σ принять равным 1,05, поперечное сечение зазоров принять равным сечению прилегающих торцов сердечника.

Рис. П3

Решение

По средней линии магнитопровода (рис. П3) разделим его контур на однородные участки. По признаку однородности материала выделяется немагнитный участок 1, равный двойному зазору ab + fe.

Остальную часть – стальной сердечник по признаку постоянства сечения – разбиваем на две части cd и (cb+ah+hg+gf+ed). По cd проходит один и тот же поток Ф, поэтому этот участок можно считать однородным и присвоить ему номер 2.

На остальной части сердечника по признаку постоянства потока выделим два участка – номер 3 – на части (de+fg+ha+bc), где проходит основной поток Ф, и номер 4 – где проходит полный поток Ф_п = Ф + Ф_рас, который определяется так: Ф_п = Фσ.

Таким образом получено число однородных участков n = 4, основные параметры которых сведены в табл.П1.

табл.П1

Участок по средней линии магнитопровода	ab+ef	(ha+bc) + (de+fg)	cd	gh
Номер участка к	1	2	3	4
Магнитные свойства материала	μ0	H(B)	H(B)	H(B)
Сечение участка – Sк , м2
Магнитный поток	Ф	Ф	Ф	Ф
Длина участка – lк, м	0,004	0,23	0,12	0,12

 

 

Длины участков l_к и их поперечные сечения S_к вычислены по указанным на рис П3 размерам, причём для шихтованных участков сечение

где S_пк – сечение непосредственно по стали.

Обозначение Н(В) указывает на то, что магнитные свойства задаются кривой намагничивания. Обозначение μ₀ указывает на немагнитный участок, причём Гн/м.

Используя заданное значение В_б, а также данные об однородных участках из табл. П1, производим расчёт тока катушки.

Результаты расчётов сведены в табл.П2.

табл.П2

Номер участка
Магнитный поток Фк, Вб
Индукция Вк, Тл	1,2	1,29	1,72	1,35
Напряжённость Нк, А/м		725	10500	1100
Падение магнитного напряжения , А	3820	167	1260	132
МДС катушки F, A	5379
Ток катушки I, A	5,38

 

4. Для магнитной цепи изображённой на рис. П3 и описанной в условии прямой задачи, определить величину магнитной индукции в зазоре при токе в катушке I = 7 А.

 

Решение

Задача решается методом построения характеристики намагничивания В_б(I). Для этого задаёмся некоторым рядом значений В_б, которые указаны в табл.3 и каждый раз по алгоритму решения прямой задачи находим значения тока I, которые также приведены в табл.П3. По результатам всех расчётов строим на рис. П4 зависимость В_б(I), по которой для тока I = 7 А находим значение В_б = 1,28 Тл.

Табл.П3

Индукция Вб, Тл	Ток I, A
0,5	1,64
0,9	3,04
1,2	5,38
1,4	12,5

Рис. П4

 

 

5. Для магнитной схемы изображенной на рис. П5 известны поток Ф₃ в воздушном зазоре, все геометрические размеры и кривые намагничивания. Найти МДС.

Рис. П5

Решение.

Зададимся направлением потоков и запишем уравнения. Если направление обхода контура, образованного стержнями, согласуется с положительным направлением Iw по правилу правого винта, то магнитное напряжение U _мk = Н_k ℓ_k положительно. Следовательно, Ф₁ = Ф₂ +Ф ₃,

Iw = Н₁ ℓ₁ + Н₂ ℓ_2,

0 = Н₂ ℓ₂ – Н₃ ℓ₃ - Н _В ℓ_В.

Рассчитаем Н₃ ℓ₃ и Н ₀ ℓ_В :

В₃ = Ф_k / S_k → В₃ (Н₃) → Н₃ ℓ₃ , Н ₀ ℓ_В = Ф₃ ℓ_В / (μ₀S_В).

По третьему уравнению определим Н₂ ℓ₂ = Н₃ ℓ₃ + Н _В ℓ_В.:

Н₂ ℓ₂ → Н₂ = Н₂ ℓ₂ / ℓ₂ → В₂ (Н₂) → В₂→ В₂ S₂ =Ф _2.

По первому уравнению найдем Ф₁ = Ф₂ +Ф ₃ следовательно, получим Н₁ ℓ₁:

В₁ = Ф₁ / S₁→ В₁ (Н₁) → Н₁ ℓ₁.

По второму уравнению F = Iw = Н₁ ℓ₁ + Н₂ ℓ₂/

 

ЗАДАНИЕ ДЛЯ ВЫПОЛНЕНИЯ

Задание №1

Определить магнитную индукцию в воздушном зазоре магнитопровода (рис. З1) величиной δ, по обмотке которого с числом витков , течет ток . Габариты магнитопровода заданы в таблице З1.

 

 

Рис. З1

 

Табл.З1

№ вар.	a, мм	b, мм	c, мм	d, см	δ, мм	, А		Материал магнитопровода	Полярность обмотки
верх	низ
					0.2			Cплав 80НХС	-	+
					0.2			Cплав 80НХС	+	-
					0.2			Литая сталь	-	+
					0.2			Литая сталь	+	-
					0.2			Э-330А	-	+
					0.2			Э-330А	+	-
					0.2			Э-320	-	+
					0.2			Э-320	+	-
					0.2			СТ-3	-	+
					0.2			СТ-3	+	-
					0.2			Cплав 80НХС	-	+
					0.1			Cплав 80НХС	+	-
					0.1			чугун	-	+
					0.1			чугун	+	-
					0.1			Э-320	-	+
					0.1			Э-320	+	-
					0.1			Э-310	-	+
					0.1			Э-310	+	-
					0.1			чугун	-	+
					0.1			Лист г.к	+	-
					0.1			Лист г.к	-	+
					0.1			СТ-2	+	-
					0.1			СТ-2	-	+
					0.1			СТ-3	+	-
					0.1			СТ-3	-	+

Задание №2

Определить магнитные потоки в стержнях магнитопровода (рис.З2) при заданных в табл. З2 габаритах магнитопровода и токах в обмотках.

 

Рис.З2

 

Табл. З2

№ Вар.	a, см	b, см	c, см	d, см	δ, мм			, А	, A	Материал магнитопровода	Полярность обмоток
в.	н.	в.	н.
					0.2					Cплав 80НХС	-	+	-	+
					0.2					Cплав 80НХС	+	-	-	+
					0.2					Литая сталь	-	+	+	-
					0.2					Литая сталь	+	-	-	+
					0.2					Э-330А	-	+	+	-
					0.2					Э-330А	+	-	-	+
					0.2					Э-320	-	+	+	-
					0.2					Э-320	+	-	+	-
					0.2					СТ-3	-	+	+	-
					0.2					СТ-3	+	-	-	+
					0.2					Cплав 80НХС	-	+	-	+
					0.1					Cплав 80НХС	+	-	-	+
					0.1					чугун	-	+	-	+
					0.1					чугун	+	-	-	+
					0.1					Э-320	-	+	+	-
					0.1					Э-320	+	-	-	+
					0.1					Э-310	-	+	+	-
					0.1					Э-310	+	-	-	+
					0.1					чугун	-	+	+	-
					0.1					Лист г.к	+	-	-	+
					0.1					Лист г.к	-	+	+	-
					0.1					СТ-2	+	-	-	+
					0.1					СТ-2	-	+	+	-
					0.1					СТ-3	+	-	-	+
					0.1					СТ-3	-	+	+	-

 

 

Список литературы

 

1. Лоторейчук, Е. А.Теоретические основы электротехники [Text]: учебник / Е.А. Лоторейчук. - М.: ИД "ФОРУМ", ИНФРА-М, 2014. - 320 с.: ил. - ISBN 978-5-8199-0040-6 ИД ("ФОРУМ"). - ISBN 978-5-16-000986-5 (ИНФРА-М): 460.00. Кол-во экземпляров: 60.

2. Новожилов, О. П. Электротехника и электроника [Text]: учебник для бакалавров / О.П. Новожилов. - М.: Юрайт, 2012. - 653 с. - (Бакалавр). - ISBN 978-5-9916-1450-4: 492.47. Кол-во экземпляров: 10.

3. Теоретические основы электротехники: В 3-х т. Учебник для вузов. Том 2.-4-е изд. /К.С. Демирчан, Л.Р. Нейман, Н.В.Коровкин, В.Л.Чечурин.- СПб.: Питер, 2004. – 576 с.: ил. (и предыдущие издания). Кол-во экземпляров: 12.