Нормальное распределение

Непрерывные случайные величины

Непрерывная случайная величина Х описывается с помощью

1) Плотности распределения f(x).

Для f(x) выполнено:

· График у = f(x) лежит выше оси абсцисс, f(x) ;

· Если , то при ;

· Площадь, ограниченная графиком у = f(x) и осью Ох, равна 1;

2) Функции распределения F(x).

Для F(x) выполнено:

· ;

· ;

· ;

3) Числовых характеристик

· , ;

· , ;

· .

 

Перечислим основные виды распределений непрерывных случайных величин и укажем правила нахождения их параметров по статистическим данным.

 

Равномерное распределение

Пусть случайная величина Х принимает значения из отрезка [a; b], вероятность попадания в малый участок этого отрезка не зависит от его положения в отрезке [a; b] и зависит только соотношения длин этих отрезков.

В этом случае Х имеет равномерное распределение,

 

плотность равномерного распределения.

 

 

Чем больше длина отрезка [a; b] (разница между a и b), тем меньше значение функции f(x)= на этом отрезке (см. Рис.17)..

График плотности равномерного распределения имеет следующий вид:

 

 

 

В случае равномерного распределения

· Функция распределения

· Вероятность попадания значений случайной величины Х в отрезок [ x ₁; x ₂] длины L (полностью лежащий в отрезке [a; b]) находится как отношение его длины к длине отрезка [a; b];

· Математическое ожидание (середина отрезка);

· Дисперсия ;

· .

Замечание: Равномерное распределение предполагается при малом отличии полигона или графика отрезка от горизонтальной прямой, за пределами которого нулевые значения.

Параметры a и b равномерного распределения по статистическим данным находятся из оценок :

, , т.е..;

Показательное распределение

Случайная величина Х имеет показательное распределение, если

плотность еёраспределения имеет вид.

.

График плотности показательного распределения

 

Функция распределения для показательного распределения называется функцией надёжности.

Вероятность попадания в промежуток .

Для показательного распределения .

 

Замечание: Показательное распределение предполагают, когда гистограмма или график эмпирической плотности до нулевого значения практически нулевые и значения и S мало отличаются.

 

Для случайной величины Х, имеющей показательное распределение, параметром служит , её значение по выборочным данным может быть найдено следующим образом:

1) Для выборки х ₁, х ₂, ….., х _n находим .

Если и S существенно отличаются, то показательное распределение вряд ли имеет место;

2) Из оценки и условия , получаем

;

 

В общем случае показательное распределение может иметь два параметра, плотность распределения при этом (см. Рис.18.б).

Число показывает пологость кривой и наибольшую высоту, число а показывает сдвиг относительно оси Оу.

 

 

 

 

 

 

В этом случае числовые характеристики .

Замечание: Такое распределение предполагается, когда гистограмма или график до значения х = а мало отличаются от нуля, а после х = а является убывающей и стремящейся к нулю. Значения – а и должны мало отличаться.

В этом случае (при известном числе а) параметр находится из оценки т.е. ,;

 

Нормальное распределение

Нормальное распределение имеет плотность , график которой является колоколообразным (с одной точкой максимума).

 

На Рис.19 показаны графики плотностей нормального распределения с параметрами а ₁=20 и ₁=15, а ₂=20 и ₂=8, а ₃=35 и ₃=5.

Для нормального распределения параметр а показывает абсциссу точки максимума, параметр показывает отклонение от х=а (влево и вправо) абсцисс точек перегиба. Чем меньше значение , тем плотность распределения имеет более крутой график с большим значением функции в точке максимума.

 

 

Для нормальной случайной величины Х, имеющей параметры а =0 и =1 (нормированной) плотность распределения обычно обозначается , . График симметричен относительно х =0 (оси Оу) и точки её перегиба при .Функция является чётной, .

Значения при заданы в таблице (приложение 1),

при считаем =0.

Функция распределения F(x) при а =0 и =1 имеет вид F(x)=0,5 + Ф(х), где – нечётная функция т.е. Ф(- х)= –Ф(х).

Значения Ф(х) заданы в таблице (приложение 2), при х>5 считаем Ф(х)=0,5.

 

 

Значения плотности произвольного нормального распределения можно найти, используя нормированную случайную величину , тогда . График f(x) получается из графика сжатием в раз вдоль оси Ох (растяжением в раз вдоль оси Ох при <1) и переносом на a вправо (при а< 0 сдвиг влево).

F(x)=0,5 +Ф

Для произвольной нормально распределённой случайной величины Х функция распределения ,

 

используя функцию Ф(х) получим соотношение.

 

Вероятность нормальной величиной принимать значения от х ₁ до х ₂ находится по правилу .

Из этого

а) —вероятность

значений нормальной случайной величины, не превосходящих х=х_0;

б) —вероятность

значений нормальной случайной величины, превосходящих х=х_{0 .}

 

Вероятность отклонения нормальной величины от своего математического ожидания на величину, не превышающую , находится по правилу . Если взять , то , , (Ф(3)=0,49865 из таблицы).

 

«Правило трёх сигма»:

«вероятность отклонения нормальной случайной величины от своего математического ожидания на величину, большую трёх среднеквадратичных отклонений, составляет не более 0,3% ».

 

Следует обратить внимание, что нормальное распределение аппроксимирует (приближает) как биномиальное распределение, так и распределение Пуассона при увеличении числа испытаний m. При этом получим параметры нормального распределения при биномиальном распределении, для распределения Пуассона.

 

Если Х₁, Х₂, …, Х_n — нормальные случайные величины с известными математическими ожиданиями и среднеквадратичными отклонениями , то их взвешенная сумма является также нормальной величиной с параметрами и .

 

 

Центральная предельная теорема:

Если Х₁, Х₂, …., Х n – независимые случайные величины, имеющие один и тот же закон распределения с математическим ожиданием М(X) и дисперсией D(X), то закон распределения их суммы при неограниченном увеличении числа слагаемых n приближается к нормальному распределению с математическим ожиданием и дисперсией .

Замечание: Обычно распределение суммы независимых случайных величин считают нормальным при n >8. Такая сумма может считаться случайной величиной со свойствами нормальной случайной величины.

 

Посчитаем элементы выборки х ₁, х ₂, ….., х _n значениями случайных величин с одинаковым распределением (с одинаковыми математическими ожиданиями М(Х) и дисперсиями D(X) при репрезентативности выборки).

В этом случае их сумма (при объёме выборки n >8) распределена нормально, как и случайная величина . Её математическое ожидание является суммой математических ожиданий и её дисперсия находится по правилу , .

 

 

Учитывая, что , получим:

1) (несмещённость оценки М(Х) с помощью );

2) т.е. выборочное среднее — случайная величина,

разброс значений для которой убывает и стремится к нулю при увеличении

объёма выборки.

 

Замечание: Нормальное распределение предполагают, когда гистограмма или график имеют близкую к колоколообразной форму.

 

Для случайной величины Х, имеющей нормальное распределение, параметрами служат а и , их значения по выборочным данным могут быть найдены следующим образом:

1) По выборочным данным находятся ;

2)

Параметры находятся из оценок ,

т.е.;