Составим прогноз на четыре квартала вперед (т.е. на 1 год, с t =17 по t =20). Максимальное значение t, для которого могут быть рассчитаны коэффициенты a(t), b(t) определяется количеством исходных данных и равно 16. Рассчитав значения а (16) и b (16) (см. табл. 4), по формуле 1 можно определить прогнозные значения экономического показателя Yp(t). Для t =17 имеем:
Аналогично находим Yp(18), Yp(19), Yp(20):
Ha нижеприведенном рисунке проводится сопоставление фактических и расчетных данных. Здесь же показаны прогнозные значения цены акции на 1 год вперед. Из рисунка видно, что расчетные данные хорошо согласуются с фактическими, что говорит об удовлетворительном качестве прогноза.
Рис. Сопоставление расчетных и фактических данных
Задание 2
Даны цены (открытия, максимальная, минимальная и закрытия) за 10 дней. Интервал сглаживания принять равным пяти дням. Рассчитать:
- экспоненциальную скользящую среднюю;
- момент;
- скорость изменения цен;
- индекс относительной силы;
- % R, % К и % D.
Расчеты проводить для дней, для которых эти расчеты можно выполнить на основании имеющихся данных.
Таблица 6
| Дни | Цены | ||
| макс. | мин. | закр. | |
Решение.
Экспоненциальная скользящая средняя (ЕМА). При расчете ЕМА учитываются все цены предшествующего периода, а не только того отрезка, который соответствует интервалу сглаживания. Однако последним значениям цены придается большее значение, чем предшествующим. Расчеты проводятся по формуле:
,
где k =2/(n +1), n – интервал сглаживания;
Ct – цена закрытия t -го дня;
ЕМАt – значения ЕМА текущего дня t.
Составим таблицу рассчитанных значений ЕМА:
Таблица 7
| t | Цена закрытия, Ct | EMA t |
| - | ||
| - | ||
| - | ||
| - | ||
| ||
| ||
| ||
| 874,9926 | ||
| 850,6617 | ||
| 800,1078 |
Приведем алгоритм расчета.
1. Выбрать интервал сглаживания n (в нашем случае n = 5).
2. Вычислить коэффициент k (k = 2/(n + 1) = 2/(5 + 1) = 1/3).
3. Вычислить МА для первых 5 дней. Для этого сложим цены закрытия за первые 5 дней. Сумму разделим на 5 и запишем в графу ЕМАt за 5-ый день.
4. Перейти на одну строку вниз по графе ЕМАt. Умножить на k данные по конечной цене текущей строки.
5. Данные по ЕМАt за предыдущий день взять из предыдущей строки и умножить на (1- k).
6. Сложить результаты, полученные на предыдущих двух шагах. Полученное значение ЕМАt записать в графу текущей строки.
7. Повторить шаги 4, 5 и 6 до конца таблицы.
Построим график ЕМАt.
Момент (МОМ). Момент рассчитывается как разница конечной цены текущего дня Ct и цены n дней тому назад Ct-n.
,
где Ct – цена закрытия t -го дня;
МОМt – значения МОМ текущего дня t.
Составим таблицу рассчитанных значений МОМ:
Таблица 8
| t | Цена закрытия, Ct | МОМ t |
| - | ||
| - | ||
| - | ||
| - | ||
| 856-982 = -126 | ||
| 881-922 = -41 | ||
| 870-902 = -32 | ||
| 852-846 = 6 | ||
| 802-856 = -54 | ||
| 699-881 = -182 |
Построим график МОМt.
Положительные значения МОМ свидетельствуют об относительном росте цен, отрицательные – о снижении. Движение графика момента вверх из зоны отрицательных значений является слабым сигналом покупки до пересечения с нулевой линией. График момента пересекает нулевую линию в районе 7-8-го дня, а затем снова снижатся.
Скорость изменения цен. Похожий индикатор, показывающий скорость изменения цен (ROC), рассчитывается как отношение конечной цены текущего дня к цене n дней тому назад, выраженное в процентах.
,
где Ct – цена закрытия t -го дня;
RОCt – значения RОC текущего дня t.
Составим таблицу рассчитанных значений RОC:
Таблица 9
| t | Цена закрытия, Ct | RОC t, % |
| - | ||
| - | ||
| - | ||
| - | ||
| 856 / 982·100 = 87,17 | ||
| 881 / 922·100 = 95,55 | ||
| 870 / 902·100 = 96,45 | ||
| 852 / 846·100 = 100,71 | ||
| 802 / 856·100 = 93,69 | ||
| 699 / 881·100 = 79,34 |
Построим график RОCt.
ROC является отражением скорости изменения цены, а также указывает направление этого изменения. Графическое отображение и правила работы ничем не отличаются от момента. В качестве нулевой линии используется уровень 100%. Этот индикатор также показал сигнал к покупке в районе 7-8-го дня.
Индекс относительной силы (RSI). Наиболее значимым осциллятором, расчет которого предусмотрен во всех компьютерных программах технического анализа, является индекс относительной силы.
Для расчета применяют формулу:
,
где AU – сумма приростов конечных цен за n последних дней;
AD – сумма убыли конечных цен за n последних дней.
Рассчитывается RSI следующим образом (таблица 10).
1. Выбираем интервал n (в нашем случае n =5).
2. Начиная со 2-го дня до конца таблицы, выполняем следующую процедуру. Вычитаем из конечной цены текущего дня конечную цену предыдущего дня. Если разность больше нуля, то ее записываем в графу «Повышение цены». Иначе абсолютное значение разности записываем в графу «Понижение цены».
3. С 6-го дня и до конца таблицы заполняем графы «Суммы повышений» и «Суммы понижений». Для этого складывают значения из графы «Повышение цены» за последние 5 дней (включая текущий) и полученную сумму записываем в графу «Суммы повышений» (величина AU в формуле). Аналогично находят сумму убыли конечных цен по данным графы «Понижение цены» и записываем в графу «Суммы понижений» (величина AD в формуле).
4. Зная AU и AD, по формуле рассчитываем значение RSI и записываем в графу RSI.
Таблица 10
| t | Цена закрытия, Ct | Повышение цены | Понижение цены | Сумма повышений | Сумма понижений | RSI |
| 24,66 | ||||||
| 23,84 | ||||||
| 24,34 | ||||||
| 60,98 | ||||||
| 85,71 |
Построим график RSI.
Зоны перепроданности располагаются обычно ниже 25-20, а перекупленности – выше 75-80%. Как видно из рисунка, индекс относительной силы вышел из зоны, ограниченной линией 25%, на 7-8 день (сигнал к покупке).
Стохастические линии. Если МОМ, ROC и RSI используют только цены закрытия, то стохастические линии строятся с использованием более полной информации. При их расчете используются также максимальные и минимальные цены. Как правило, применяются следующие стохастические линии: %R, %К и %D.
,
где %Кt – значение индекса текущего дня t;
Ct – цена закрытия t -го дня;
L5 и H5 – минимальная и максимальная цены за 5 предшествующих дней, включая текущий (в качестве интервала может быть выбрано и другое число дней).
Похожая формула используется для расчета %R:
,
где %Rt – значение индекса текущего дня t;
Ct – цена закрытия t -го дня;
L5 и H5 – минимальная и максимальная цены за 5 предшествующих дней, включая текущий.
Индекс %D рассчитывается аналогично индексу %К, с той лишь разницей, что при его построении величины (Ct - L5) и (H5 - L5) сглаживают, беря их трехдневную сумму.
Ввиду того что %D имеет большой статистический разброс, строят еще ее трехдневную скользящую среднюю – медленное %D.
Составим таблицу 11 для нахождения всех стохастических линий.
1. В графах 1-4 приведены дни по порядку и соответствующие им цены (максимальная, минимальная и конечная).
2. Начиная с 5-го дня в графах 5 и 6 записываем максимальную и минимальную цены за предшествующие 5 дней, включая текущий.
3. В графе 7 записываем (Ct - L5) – разность между данными графы 4 и графы 6.
4. Графу 8 составляют значения разности между данными графы 5 и графы 4, т.е. результат разности (H5 - Ct).
5. Размах цен за 5 дней (H5 - L5) – разность между данными графы 5 и графы 6 записываем в графу 9.
6. Рассчитанные по формуле значения %K заносим в графу 10.
7. В графу 11 заносим значения %R, рассчитанные по формуле.
8. Шаги 2-7 повторяем для 6-й, 7-й строки и т.д. до конца таблицы.
9. Для расчета %D, начиная с 7-й строки, складываем значения Ct - L5 из графы 7 за 3 предыдущих дня, включая текущий (t=5, 6 и 7), и записываем в графе 12. Аналогично значения размаха (H5 - L5) из графы 9 складываем за 3 предшествующих дня и заносим в графу 13.
10. По формуле, используя данные граф 12 и 13, рассчитываем %D и записываем в графу 14.
11. Шаги 9 и 10 повторяем для 8-й, 9-й и 10-й строк.
12. Медленное %D находим как скользящую среднюю от %D (данные берем из графы 14) с интервалом сглаживания, равным трем. Результат записываем в графу 15.
Таблица 11
| t | макс. Нt | мин. Lt | закр. Ct | мак. за 5 дн. Н5 | мин. за 5 дн. L5 | Ct - L5 | H5 - Ct | H5 - L5 | % Кt | % Rt | сумма за 3 дн. Ct - L5 | сумма за 3 дн. H5 – L5 | % Dt | медленное% Dt |
| 18,86 | 81,14 | |||||||||||||
| 39,46 | 60,54 | |||||||||||||
| 37,01 | 62,99 | 30,73 | ||||||||||||
| 27,10 | 72,90 | 35,17 | ||||||||||||
| 1,54 | 98,46 | 21,43 | 29,11 | |||||||||||
| 7,60 | 92,40 | 10,27 | 22,29 |
Построим стохастические линии:
Смысл индексов % К и % R состоит в том, что при росте цен цена закрытия бывает ближе к максимальной, а при падении цен наоборот – ближе к минимальной. Индексы % R и % К проверяют, куда больше тяготеет цена закрытия.
Задание 3
3.1. Банк выдал ссуду, размером 500 000 руб. Дата выдачи ссуды – 21.01.02, возврата – 11.03.02. Дата выдачи и день возврата считать за один день. Проценты рассчитываются по простой процентной ставке 10% годовых. Найти:
3.1.1) точные проценты с точным числом дней ссуды;
3.1.2) обыкновенные проценты с точным числом дней ссуды;
3.1.3) обыкновенные проценты с приближенным числом дней ссуды.
Решение
Используем формулы 
; 
:
3.1.1) 
, 
, 
руб.
3.1.2) 
, , 
руб.
3.1.3) , 
, 
руб.
3.2. Через 180 дней после подписания договора должник уплатит 500 000 руб. Кредит выдан под 10% годовых (проценты обыкновенные). Какова первоначальная сумма и дисконт?
Решение
Используем формулу:
руб.
Дробь в правой части равенства при величине S называется дисконтным множителем. Этот множитель показывает, какую долю составляет первоначальная сумма ссуды в окончательной величине долга. Дисконт суммы S равен 
руб.
3.3. Через 180 дней предприятие должно получить по векселю 500 000 руб. Банк приобрел этот вексель с дисконтом. Банк учел вексель по учетной ставке 10% годовых (год равен 360 дням). Определить полученную предприятием сумму и дисконт.
Решение
Используем формулы 
, 
.
руб.
руб.
3.4. В кредитном договоре на сумму 500 000 руб. и сроком на 4 года зафиксирована ставка сложных процентов, равная 10% годовых. Определите наращенную сумму.
Решение
Воспользуемся формулой наращения для сложных процентов:
руб.
3.5. Ссуда, размером 500 000 руб. предоставлена на 4 года. Проценты сложные, ставка – 10% годовых. Проценты начисляются 2 раза в год. Вычислить наращенную сумму.
Решение
Начисление процентов два раза в год, т.е. m=2. Всего имеется N = 4·2 =8 периодов начислений. По формуле начислений процентов по номинальной ставке: 
находим:
руб.
3.6. Вычислить эффективную ставку процента, если банк начисляет проценты 2 раза в год, исходя из номинальной ставки 10% годовых.
Решение
По формуле 
находим:
, т.е. 10,25%.
3.7. Определить какой должна быть номинальная ставка при начислении процентов 2 раза в год, чтобы обеспечить эффективную ставку 10% годовых.
Решение
По формуле 
находим:
, т.е. 9,76%
3.8. Через 4 года предприятию будет выплачена сумма 500 000 руб. Определить ее современную стоимость при условии, что применяется сложная процентная ставка 10% годовых.
Решение
По формуле 
находим:
руб.
3.9. Через 4 года по векселю должна быть выплачена сумма 500 000 руб. Банк учел вексель по сложной учетной ставке 10% годовых. Определить дисконт.
Решение
Дисконтирование по сложной учетной ставке осуществляется по формуле:
руб.
Дисконт суммы S равен:
руб.
3.10. В течение 4 лет на расчетный счет в конце каждого года поступает по 500 000 руб., на которые 2 раза в год начисляются проценты по сложной годовой ставке 10%. Определить сумму на расчетном счете к концу указанного срока.
Решение
По формуле 
находим:
руб.