Проверка качества модели

Таблица 1

Поквартальные данные о кредитах от коммерческого банка на жилищное строительство (в условных единицах) за 4 года

t

Y(t)

Решение

Будем считать, что зависимость между компонентами тренд-сезонный временный ряд мультипликативная. Мультипликативная модель Хольта-Уинтерса с линейным ростом имеет следующий вид:

, (1)

где k – период упреждения;

Y_р(t) — расчетное значение экономического показателя для t -гo периода;

a(t), b(t) и F(t) - коэффициенты модели; они адаптируются, уточняются по мере перехода от членов ряда с номером t-1 к t;

F(t+k-L) - значение коэффициента сезонности того периода, для которого рассчитывается экономический показатель;

L - период сезонности (для квартальных данных L=4, для месячных – L =12).

Таким образом, если по формуле 1 рассчитывается значение экономического показателя, например за второй квартал, то F(t+k-L) как раз будет коэффициентом сезонности второго квартала предыдущего года.

Уточнение (адаптация к новому значению параметра времени t) коэффициентов модели производится с помощью формул:

; (2)

; (3)

. (4)

Параметры сглаживания a ₁, a ₂ и a ₃ подбирают путем перебора с таким расчетом, чтобы расчетные данные наилучшим образом соответствовали фактическим (т.е. чтобы обеспечить удовлетворительную адекватность и точность модели).

Из формул 1 - 4 видно, что для расчета а (1) и b (1) необходимо оценить значения этих коэффициентов для предыдущего период времени (т.е. для t =1-1=0). Значения а (0) и b (0) имеют смысл этих же коэффициентов для четвертого квартала года, предшествующего первому году, для которого имеются данные в табл. 1.

Для оценки начальных значений а (0) и b (0) применим линейную модель к первым 8 значениям Y(t) из табл. 1. Линейная модель имеет вид:

. (5)

Метод наименьших квадратов дает возможность определить коэффициенты линейного уравнения а (0) и b (0) по формулам 6 - 9:

; (6)

; (7)

; (8)

. (9)

Применяя линейную модель к первым 8 значениям ряда из таблицы 1 (т.е. к данным за первые 2 года), находим значения а (0) и b (0). Составим вспомогательную таблицу для определения параметров линейной модели:

Таблица 2

t	Y(t)	t-tcp	Y-Ycp	(t-tcp)2	(Y-Ycp)(t-tcp)
		-3,5	-7,625	12,25	26,6875
		-2,5	0,375	6,25	-0,9375
		-1,5	7,375	2,25	-11,0625
		-0,5	-7,625	0,25	3,8125
		0,5	-4,625	0,25	-2,3125
		1,5	4,375	2,25	6,5625
		2,5	13,375	6,25	33,4375
		3,5	-5,625	12,25	-19,6875
S						36,5

 

Уравнение (5) с учетом полученных коэффициентов имеет вид: Y_p(t) =31,714+0,869· t. Из этого уравнения находим расчетные значения Y_р(t) и сопоставляем их с фактическими значениями (табл. 3). Такое сопоставление позволяет оценить приближенные значения коэффициентов сезонности I-IV кварталов F(-3), F(-2), F(-1) и F(0) для года, предшествующего первому году, по которому имеются данные в табл. 1. Эти значения необходимы для расчета коэффициентов сезонности первого года F(1), F(2), F(3), F(4) и других параметров модели Хольта-Уинтерса по формулам 1 - 4.

Таблица 3

Сопоставление фактических данных Y(t) и рассчитанных по линейной модели значений Y_p(t)

t
Y(t)
Yp(t)	32,583	33,452	34,321	35,190	306,060	36,929	37,798	38,667

 

Коэффициент сезонности есть отношение фактического значения экономического показателя к значению, рассчитанному по линейной модели. Поэтому в качестве оценки коэффициента сезонности I квартала F(-3) может служить отношение фактических и расчетных значений Y(t) I квартала первого года, равное Y(1) / Y_р(1), и такое же отношение для I квартала второго года (т.е. за V квартал t =5) Y(5)/Yр(5). Для окончательной, более точной, оценки этого коэффициента сезонности можно использовать среднее арифметическое значение этих двух величин.

F (-3) = [ Y (1) / Y_p (1) + Y (5) / Y_p (5) ] / 2=[ 28 / 32,583 + 31 / 36,060 ] / 2 = 0,8595.

Аналогично находим оценки коэффициента сезонности для II, III и IV кварталов:

F (-2) = [ Y (2) / Y_p (2) + Y (6) / Y_p (6) ] / 2 = 1,0797;

F (-1) = [ Y (3) / Y_p (3) + Y (7) / Y_p (7) ] / 2 = 1,2746;

F (0) = [ Y (4) / Y_p (4) + Y (8) / Y_p (8) ] / 2 = 0,7858.

Оценив значения а (0), b (0), а также F (-3), F (-2), F (-1) и F (0), можно перейти к построению адаптивной мультипликативной модели Хольта-Уинтерса с помощью формул 1 - 4.

Из условия задачи имеем параметры сглаживания a ₁=0,3; a ₂=0,6; a ₃=0,3. Рассчитаем значения Y_p (t), a (t), b (t) и F (t) для t =l.

Из уравнения 1, полагая что t =0, k =1, находим Y_р(1):

Из уравнений 2 - 4, полагая что t =1, находим:

;

;

.

Аналогично рассчитаем значения Y_p(t), a(t), b(t) и F(t) для t =2:

;

;

;

для t =3:

;

;

;

для t =4:

;

;

;

 

для t =5:

Обратим внимание на то, что здесь и в дальнейшем используются коэффициенты сезонности F(t-L), уточненные в предыдущем году (L =4):

;

;

;

Продолжая аналогично для, t = 6,7,8,…,16 строят модель Хольта-Уинтерса (табл. 4). Максимальное значение t, для которого можно находить коэффициенты модели, равно количеству имеющихся данных по экономическому показателю Y(t). В нашем примере данные приведены за 4 года, то есть за 16 кваралов. Максимальное значение t равно 16.

Таблица 4

Модель Хольта-Уинтерса

t	Y(t)	a(t)	b(t)	F(t)	Yp(t)	Абс.погр., E(t)	Отн.погр., %
		31,71	0,87	0,7858
	28,0	32,58	0,87	0,8594	28,01	-0,01	0,02
	36,0	33,42	0,86	1,0782	36,11	-0,11	0,32
	43,0	34,11	0,81	1,2661	43,69	-0,69	1,60
	28,0	35,14	0,87	0,7924	27,44	0,56	1,99
	31,0	36,03	0,88	0,8600	30,95	0,05	0,16
	40,0	36,97	0,90	1,0805	39,80	0,20	0,51
	49,0	38,11	0,97	1,2778	47,94	1,06	2,17
	30,0	38,72	0,86		30,97	-0,97	3,24
	34,0	39,57	0,86	0,8596	34,04	-0,04	0,11
	44,0	40,51	0,88	1,0839	43,68	0,32	0,73
	52,0	41,19	0,82	1,2687	52,90	-0,90	1,73
	33,0	42,07	0,84	0,7834	32,84	0,16	0,47
	39,0	43,64	1,06	0,8800	36,88	2,12	5,43
	48,0	44,58	1,02	1,0796	48,45	-0,45	0,95
	58,0	45,64	1,03	1,2700	57,85	0,15	0,25
	36,0	46,45	0,97	0,7783	36,56	-0,56	1,56

Проверка качества модели

Для того чтобы модель была качественной уровни, остаточного ряда E(t) (разности Y(t)-Yp(t) между фактическими и расчетными значениями экономического показателя) должны удовлетворять определенным условиям (точности и адекватности). Для проверки выполнения этих условий составим таблицу 5.