Линейная зависимость векторов. Базис.

Скалярное произведение векторов

Опр.1 Скалярным произведением двух ненулевых геометрических векторов называется число (или ), где угол между векторами

Свойства скалярного произведения:

1) ; (док. сам.);

2) ; (док. сам.);

3) ; (док. сам.);

4) , если – острый, , если – тупой;

5) - условие перпендикулярности. ненулевых векторов;

6) (скалярный квадрат);

7) .

ПР. Вычислить , если .

Вычисление скалярного произведения через координаты

Пусть , . Учитывая свойства скалярного произведения и то, что , , получим:

= .

Физический смысл скалярного произведения.

Пусть материальная точка перемещается из положения А в положение В под действием силы Тогда работа, совершаемая при этом, , где .

ПР. Даны точки . Найти .

Векторное произведение векторов.

Опр.1. Векторным произведением вектора на вектор называется вектор такой, что:

1) ,

2) ,

3) тройка векторов является правой.

Свойства векторного произведения:

1) ;

2) ;

3) ;

4) - площадь параллелограмма, построенного на векторах ;

5) если , то

ПР. Вычислить , если .

Вычисление векторного произведения через координаты

Пусть , ; учитывая, что и т.д., получим:

=…= . Физический смысл векторного произведения

− момент силы , приложенной к точке О.

ПР. Найти площадь с вершинами .

Смешанное произведение векторов

Опр.1. Смешанным произведением упорядоченной тройки векторов называется число, равное скалярному произведению. вектора на вектор ; обозначается:

.
Свойства смешанного произведения:

1) - объем параллелепипеда, построенного на векторах (док. сам.);

2) векторы лежат в одной плоскости (компланарные) если (док. сам.);

3) ;

4) .

Вычисление смешанного произведения через координаты

Пусть , , , тогда . Док-во:

ПР. Будут ли векторы компланарны? Если – нет, найти объем пирамиды, построенной на этих векторах.

§6. n - мерные векторы. Основные понятия.

Опр.1. Вектором называется упорядоченный набор из n действительных чисел: , где - называется i – й координатой вектора x, , или компонентой.

Опр.2. Размерностью вектора называется число его координат.

Очевидно, что вектор – это матрица размера или . Поэтому линейные операции над векторами и их свойства аналогичны линейным операциям над матрицами.

Опр.3. Скалярным произведением векторов и называется число .

Свойства скалярного произведения:

1) 2)

3) 4) , причем при .

Опр. 4. Скалярным квадратом вектора x называется число

Опр.5. Число называется модулем или длиной вектора.

Пр. .

Опр.6. Векторы x и y называются ортогональными, если их скалярное произведение равно нулю.

Пр. .

Опр.7. Некоторое множество V наз. линейным пространством, если:

1) 2) ,

причем эти операции обладают свойствами линейных операций.

Очевидно, что множество всех n- мерных векторов образуют линейное пространство (при фиксированном n). Назовем его векторным пространством и обозначим . В частности, .

Линейная зависимость векторов. Базис.

Опр.1. Линейной комбинацией векторов называется выражение вида , где .

Пр.

Опр.2. Система векторов называется линейно зависимой, если из этих векторов можно составить нулевую линейную комбинацию, т.е. =0, где хотя бы один из коэффициентов .

Теорема 2. (Критерий линейной зависимости системы векторов.) Система векторов линейно зависима тогда и только тогда, когда хотя бы один из ее векторов можно представить в виде линейной комбинации остальных (док. сам.).

Опр.3. Система векторов называется линейно независимой, если из этих векторов невозможно составить нулевую линейную комбинацию, в которой хотя бы один из коэффициентов был отличен от нуля. Т.е. система векторов линейно независима, если

=0 .

Утверждение 1. На плоскости любые три вектора являются линейно зависимыми.

Действительно, рассмотрим три ненулевых вектора .

а) Если коллинеарны, векторы линейно зависимы.

б) Если не коллинеарны, то векторы линейно зависимы.

Опр.4. Векторное пространство называется n-мерным, если в нем существует ровно n линейно независимых векторов, а любая система из (n+1) вектора является линейно зависимой.

Пр. Система векторов …, является линейно независимой.

Утверждение 2. Пространство n- мерных векторов является n -мерным. (Без. док-ва.).

Опр.5. Базисом n -мерного пространства называется любая упорядоченная система из n линейно независимых векторов.

ПР. Векторы образуют базис в пространстве .

Теорема 3. (О разложении вектора по базису.)

Если в векторном пространстве выбран базис, то любой вектор этого пространства может быть представлен единственным образом в виде линейной комбинации векторов базиса. (Такое представление называется разложением вектора по базису.)

Теорема 4. (О разложении вектора по базису на плоскости.)

Пусть – пере неколлинеарных векторов на плоскости. Тогда всякий компланарный им вектор единственным образом можно представить в виде линейной комбинации этих векторов.