Глава 2. Проверка статистических гипотез.

 

§1. Основные понятия.

 

Статистическая гипотеза – это некоторое предположение относительно генеральной совокупности, проверяемое по выборочным данным.

Примеры статистических гипотез:

1. Нормально распределённая случайная величина X имеет генеральную среднюю a, равную a₀ – H₀: a = a₀.

2. Нормально распределённая случайная величина X имеет дисперсию σ², равную σ² – Н₀: σ² = .

3. Выборка x =(x₁, x₂, …, x_n) извлечена из нормально распределённой генеральной совокупности.

Различают гипотезы параметрические и непараметрические.

Гипотеза называется параметрической, если в ней содержится утверждение о параметре распределения известного вида.

Гипотеза называется непараметрической, если она выдвигает утверждение о виде неизвестного закона распределения случайной величины.

Гипотеза, которую следует проверить, называется основной или нулевой гипотезой H₀. Вместе с нулевой гипотезой рассматривают конкурирующую или альтернативную гипотезу H₁. Эта гипотеза является отрицанием нулевой гипотезы.

Параметрическая гипотеза называется простой, если она содержит предположение равно об одном значении параметра.

H₀: λ =5 – параметр показательного распределения λ

H₀: X – нормально распределённая случайная величина

a = a₀, σ известна

Параметрическая гипотеза называется сложной, если она состоит из конечного или бесконечного множества простых гипотез.

H₀: X – нормально распределённая случайная величина

a = a₀, σ неизвестна

Статистику, значение которой находят по выборке, и по этому значению выносят решение: принять или не принять основную гипотезу, называют статистическим критерием. При этом используют правило, которое устанавливает, при каких числовых значениях статистики нулевая гипотеза принимается, а при каких – нет.

 

Схема проверки гипотезы.

Всё множество возможных значений статистики делится на два непересекающихся подмножества:

Область S – область отклонения основной гипотезы

Область - область принятия основной гипотезы

Область S называется критической. Если вычисленное по выборке значение статистики попадает в область S, то нулевая гипотеза H₀ отклоняется. Если вычисленное по выборке значение статистики попадает в область , то нулевая гипотеза H₀ принимается.

В итоге статистической проверки гипотезы могут иметь место ошибки двух родов:

1. Ошибка 1-го рода – будет отвергнута правильная гипотеза H₀. Вероятность ошибки 1-го рода – α, , где α – уровень значимости. Обычно в качестве α берётся 0,1; 0,05; 0,01; 0,005.

2. Ошибка 2-го рода состоит в том, что будет принята неправильная гипотеза H₀. Вероятность этого события – β, , . Число (1-β) – мощность критерия. Геометрически мощности критерия – вероятность попадания в критическую область, когда гипотеза неверна.

Пример.

Завод выпускает лампочки нового типа и предполагаем, что средний срок службы таких ламп будет не менее 1500 часов. Для выборки из 80 ламп оказалось, что средний срок службы ламп равен 1475 часов. Среднее квадратическое отклонение σ известно и σ =100 часов. Проверить гипотезу, выдвинутую фирмой при уровне значимости α =0,1 и построить график функции 1-β=(1-β)(a). Считать, что X – срок службы – нормально распределённая случайная величина.

Решение.

H_o: a₀ =1500

H₁: a₀ = a₁ <1500

(Случай a >1500 нас не интересует, т.к. какие-либо действия следует принимать, если срок службы лампочек <1500 ч).

При такой гипотезе H₁ критическая область является левосторонней.

Вероятность ошибки I -го рода – площадь по графиком нормального распределения выборочной средней слева от левосторонней критической границы. Найдём эту границу ; . По таблице нормального распределения U_2α =1,28. .

Найденное по выборке значение статистики , нулевая гипотеза H₀ отвергается. Говорят: средний срок службы лампочек значимо меньше 1500 часов.

Построим график функции 1-β=(1-β)(a).

Предположим, что нулевая гипотеза неверна и a =1490. (1-β) – вероятность попасть в критическую область S, т.е. получить . Следовательно, (1-β) – площадь под графиком распределения выборочной средней при a =1490 левее 1485,69. Эта площадь –

Возьмём другое значение a =1480.

(площадь под графиком левее 1485,69).

Если a =1430, то =0,5+Φ(4,98)=0,5+0,499=0,999.

 

 

График функции 1-β=(1-β)(a) имеет вид (a =1500, 1-β= α =0,1):

 

Мы построили график функции мощности в случае левосторонней критической границы.

 

Если критическая граница будет правосторонней, то график функции будет симметричным графику для левосторонней критической границы относительно вертикали a₀.

 

 

В случае двусторонних критических границ график выглядит следующим образом:

Свойства мощности критерия (1-β).

Мощность зависит от расстояния между a₀ и действительным значением a, среднего квадратического отклонения генеральной совокупности, размера выборки и уровня значимости.

1. Чем больше расстояние между a₀ и действительным значением a, тем больше вероятность заметить неверность нулевой гипотезы.

2. Чем меньше σ – среднее квадратичекое отклонение генеральной совокупности, тем больше мощность критерия.

3. Чем больше размер выборки, тем больше мощность критерия.

4. Чем меньше уровень значимости, тем меньше мощность критерия.

 

§2. Гипотеза о равенстве выборочной средней и гипотетического математического ожидания нормального распределения.

 

Случайная величина X имеет нормальное распределение. a – неизвестно, но есть основание предполагать, что a=a₀.

1. σ² – известна.

Пусть из генеральной совокупности извлечена объёма n. Требуется проверить нулевую гипотезу

H₀: a = a₀

H₁: a ≠ a₀

В качестве статистического критерия возьмём .

При использовании этой статистики область принятия гипотезы задаётся неравенством , (*)

область отклонения (двусторонняя критическая область) имеет вид .

По выборке вычисляется . Если это значение удовлетворяет неравенству (*), то гипотеза H₀ принимается, в противном случае H₀ отклоняется.

H₀: a = a₀

H₁: a=a₁>a₀

В этом случае критическая область – правосторонняя: . Область принятия гипотезы: .

H₀: a = a₀

H₁: a=a₁<a₀

В этом случае критическая область – левосторонняя: . Область принятия гипотезы: .

2. σ² – неизвестна.

Критерий проверки гипотез представим в виде таблицы:

H0	Статистический критерий	H1	Область принятия гипотезы H0
a = a0		a ≠ a0	; (-tα, tα) - двусторонняя критическая область
a = a1 > a0	; (-∞, t2α) - правосторонняя критическая область
a = a1 < a0	; (-t2α,+∞) - левосторонняя критическая область

Замечание: принятие основной гипотезы H₀ не означает, что H₀ является единственно подходящей, а только то, что H₀ не противоречит выборочным данным, и нет оснований не принять H₀.

Пример.

Фирма утверждает, что её изделие имеет срок службы 2900 часов. Для выборки из 50 изделий оказалось, что средний срок службы часов. При исправленном среднем квадратическом отклонении S =700 часов проверить нулевую гипотезу H₀ при 5%-м уровне значимости α =0,05.

Решение.

H₀: a =2900

H₁: a <2900

a₀ =2900; n =50; ч; S =700 ч; α =0,05.

1)

2) по таблице критических точек распределения Стьюдента найдём значение критической точки для односторонней (левосторонней) критической области при n-1 =50 и 2α =0,1:

Ответ: Значение статистики, вычисленное по выборке, попадает в критическую область, поэтому гипотеза H₀ не принимается.

 

 

§3. Гипотеза о равенстве дисперсий двух нормальных распределений.

 

Задача сравнения дисперсий возникает тогда, когда следует сравнить точность приборов, методов измерений и т.д. Предпочтительнее тот прибор или метод, который обеспечивает наименьшее рассеяние результатов измерений, т.е. наименьшую дисперсию. Пусть генеральные совокупности X и Y имеют нормальное распределение.

По независимым выборкам из этих совокупностей объёмом n₁ и n₂ вычислены исправленные выборочные дисперсии и . Задан уровень значимости α.

Требуется проверить гипотезу

Статистический критерий проверки: , .

Эта статистика имеет распределение Фишера со степенями свободы n₁-1 и n₂-1. Область принятия гипотезы определяется неравенством .

Критическую точку находят по таблице критических точек распределения Фишера по уровню значимости α и числам степеней свободы n₁-1 и n₂-1. Если проверяется та же нулевая гипотеза, но альтернативная гипотеза – другая.

В этом случае область принятия гипотезы определяется неравенством .

Критическая область будет двусторонней, но можно использовать только правостороннюю критическую область.

Точку находят по уровню значимости и заданным степеням свободы n₁-1 и n₂-1. Если гипотезу H₀ принимают, то говорят, что различие исправленных выборочных дисперсий и статистически не значимо и за оценку общей дисперсии принимают .

 

§4. Гипотеза о равенстве средних двух нормальных распределений.

 

Пусть имеются две генеральные совокупности X и Y, имеющие нормальное распределение и по выборкам объёма n₁ и n₂ рассчитали выборочные средние при заданном уровне значимости проверить нулевую гипотезу, состоящую в том, что математические ожидания рассматриваемых совокупностей равны. Критерии проверки гипотез представим в виде таблицы.

 

Ho	Предположения	Статистика критерия	H1	Область принятия гипотезы H0
ax = ay	и - известны		ax ≠ ay     ax > ay   ax < ay	, - двусторонняя критическая область , - правосторонняя критическая область , - левосторонняя критическая область
и - неизвестны,	, - общая оценка дисперсии	ax ≠ ay     ax > ay   ax < ay	, - двусторонняя критическая область , - правосторонняя критическая область , - левосторонняя критическая область

Если H₀ принимается, то говорят, что различие выборочных средних и статистически незначимо, и оценка общего математического ожидания такова: .

 

§5. Гипотеза о вероятности появления некоторого события.

 

Проводится n испытаний Бернулли и считается относительная частота появления успеха. Требуется проверить гипотезу о вероятности успеха в единичном испытании.

Обозначим p₀ – гипотетическое значение вероятности успеха. Если выборки – большие, т.е. и , то можно считать, что относительная частота успеха имеет значение p* с нормальным распределением со средним и средним квадратическим отклонением .

В качестве статистики критерия примем .

H₀: p = p₀

H₁: p = p₁ ≠ p₀

Область принятия H_o - двусторонняя критическая область, .

H₀: p = p₀

H₁: p = p₁ > p₀

Область принятия H_o - правосторонняя критическая область, .

H₀: p = p₀

H₁: p = p₁ < p₀

Область принятия H_o - левосторонняя критическая область, .

Пример.

Торговец утверждает, что он получает заказы в среднем по крайней мере от 30% предполагаемых клиентов. Можно ли при 5%-м уровне значимости считать это утверждение неверным, если торговец получил заказы от 20 из 100 случайно отобранных потенциальных клиентов?

Решение.

H₀: p₀ =0,3

H₁: p = p₁ <0,3

n =100. и , поэтому для проверки H₀ используем статистику .

При - .

При α =0,05 , поэтому – U_2α =-1,645.

Ответ: т.к. -2,18<-1,645, то H₀ не принимается, значит, утверждение торговца не является правильным.

 

§6. Критерий согласия.

 

Не всегда есть основания высказать альтернативную гипотезу в явном виде. Часто в качестве альтернативной гипотезы имеется в виду невыполнение основной. В этом случае проверка основной гипотезы состоит в том, чтобы выяснить, согласуется ли высказанное в ней предположение с выборочными наблюдениями. Такие критерии называются критериями согласия.

 

Критерий согласия χ² относительно закона распределения (критерий Пирсона).

1. H₀: выборка извлечена из совокупности, имеющей распределение с функцией распределения F₀(x), значения параметров которой известны.

Схема проверки гипотезы:

а) весь диапазон значений вариант выборки объёма n делится на интервалы одинаковой длины (x_k-1, x_k), i =1,2,…, k и подсчитывают число наблюдений m_i в i -м интервале:

б) предположив справедливость гипотезы H₀ (т.е. предположение о законе распределения), подсчитывают вероятности , i =1,2,…, k,

в) подсчитывают ожидаемые частоты , i =1,2,…, k, при этом если для некоторых из интервалов ожидаемая частота , то эти интервалы объединяют с соседними интервалами так, чтобы в итоге для каждого интервала ожидаемая частота была больше пяти; новое число интервалов обозначим

г) за меру расхождения выборочных наблюдений с гипотетическим распределением F₀(x) принимается величина (*), где - это разность эмпирической и ожидаемой частот; эту разность возводят в квадрат, чтобы устранить возможность погашения положительных и отрицательных разностей; делением на достигается уменьшение каждого слагаемого суммы, иначе сумма будет так велика, что приведёт к отклонению гипотезы H₀ даже тогда, когда эта гипотеза верна

Если , то распределение этой случайной величины (*) имеет распределение χ² с степенью свободы.

По вероятности α, где α – заданный уровень значимости, и числу степеней свободы в таблице критических точек распределения χ² находят и сравнивают найденные значения с теми, которые посчитали по формуле (*). Если , то гипотеза H₀ принимается.

2. H₀: выборка извлечена из совокупности, имеющей распределение с функцией распределения F₀(x) с некоторыми, заранее не известными значениями параметра. Пусть таких параметров будет l. В этом случае выполняем точечные оценки этих параметров, а далее выполняем пункты а) - г) схемы пункта 1, но в этом случае величина (*) имеет распределение χ² с степенями свободы.

Пример.

Для определения средней заработной платы работников определённой отрасли было обследовано 100 человек. Результаты представлены в следующей таблице:

Зарплата в долларах	Число человек
190-192
192-194
194-196
196-198
198-200
200-202
202-204
204-206
206-208

Выяснить, можно ли на уровне значимости α =0,05 считать нормальным распределение средней заработной платы с параметрами a и σ?

Решение.

H₀: .

Прежде всего, находим оценки неизвестных параметров распределения:

, где - середина i -го интервала .

Введём стандартную нормальную величину , . Далее будем считать, используя таблицу функции Лапласа: , i =1,2,…,9.

i	xi-1, xi	mi	Zi-1	Zi
	190-192			-2,928	-2,275	-0,4885-(-0,4982)=0,0097	0,97	5,08	0,1666
	192-194		-2,275	-1,621	-0,4474-(-0,4885)=0,0411	4,11
	194-196			-1,621	-0,967	-0,3332-(-0,4474)=0,1142	11,42		0,5128
	196-198			-0,967	-0,314	-0,1232-(-0,3332)=0,21			0,0476
	198-200			-0,314	0,340	0,1331-(-0,1232)=0,2563	25,63		0,2192
	200-202			0,340	0,993	0,3396-0,1331=0,2065	20,65		0,1318
	202-204			0,993	1,647	0,4502-0,3396=0,1106	11,06	15,88	0,0009
	204-206		1,647	2,301	0,4893-0,4502=0,0391	3,91
	206-208		2,301	2,954	0,4984-0,4893=0,0091	0,91
Итого	-				0,9967	-	1,0789

χ² =1,0789

При - .

1,0789<7,8, т.е. , поэтому гипотеза H₀ о нормальном распределении средней заработной платы принимается.

Ответ: распределение средней заработной платы является нормальным.