Дата занятия: 29 сентября 21г

Учебная дисциплина ОП.05 Техническое черчение

Группа№ 15

Занятие 22

Дата занятия: 29 сентября 21г

Тема занятия: «Проекция точки»

Цели работы: изучить материал, связанный методом проекций, знать свойства параллельного проецирования.

Изучение материала:

1.1. Метод проекций

Изображения, с которыми приходится встречаться в искусстве и технике, отличаются большим разнообразием, вследствие чего и требования, предъявляемые к ним, различные. В картинах и рисунках основным требованием является наглядность изображения. В технических изображениях главное требование – возможность получить по изображению точное представ- ление о форме и размерах предмета.

В начертательной геометрии для решения геометрических задач используется графиче- ский способ, при котором геометрические свойства предметов изучаются непосредственно по чертежу. Для того чтобы чертеж соответствовал изображаемому предмету, он должен быть по- строен по определенным геометрическим законам. Правила построения изображений в начер- тательной геометрии основаны на методе проекций.

Метод проекций предполагает наличие плоскости проекций, объекта проецирования и проецирующих лучей.

Проекцией точки А на плоскость

называется точка пересечения А ⁰ проецирующего

луча p, проходящего в пространстве через точку A (рис. 1.1).

Различают два метода проецирования: центральное и параллельное.

1.2. Центральное и параллельное проецирование

При центральном проецировании все проецирующие лучи проходят через точку S, назы- ваемую центром проекций и не лежащую в плоскости проекций. Для построения проекций неко- торых точек А, В, С, D (рис. 1.2) проводим через эти точки и центр проекций S проецирующие лучи до пересечения с плоскостью _0. На плоскости проекций ₀ каждой точке будет соответство- вать единственная точка – проекции А ⁰, В ⁰, С ⁰, D ⁰.

 

 

A

A0

B

S

A

B

A

p

Рис. 1.1 Рис. 1.2

Центральное проецирование обладает наглядностью, оно используется при построении изображений архитектурно-строительных объектов, но дает значительное искажение размеров, вследствие чего не применяется для выполнения чертежей.

0.

При параллельном проецировании проецирующие лучи параллельны заданному направлению S (рис. 1.3). Точки пересечения проецирующих лучей, проходящих через точки А, В, С, с плоскостью проекций ₀ – параллельные проекции А ⁰, В ⁰, С ⁰ на плоскости

Параллельное проецирование можно рассматривать как частный случай центрального при бесконечно удаленном центре проекций. В зависимости от направления проецирующих лу чей относительно плоскости проекций параллельное проецирование может быть прямоуголь- ным (проецирующие лучи перпендикулярны плоскости проекций) и косоугольным (проеци- рующие лучи составляют с плоскостью проекций угол, не равный 90).

0.

Прямоугольной (ортогональной) проекцией точки A (рис. 1.4) является основание пер-

пендикуляра A ⁰, проведенного из точки A на плоскость

Ортогональное проецирование имеет

ряд преимуществ перед центральным и косоугольным параллельным проецированием.

S

B

A

B

A

A

A

Рис. 1.3 Рис. 1.4

К ним относятся простота геометрических построений и удобство измерений, поэтому прямоугольное (ортогональное) проецирование широко применяется для разработки чертежей. Прямоугольное проецирование включает в себя все свойства центрального и параллельного проецирования.

 

1.3. Свойства прямоугольного проецирования

1. Каждая точка и прямая в пространстве имеют единственную проекцию на плоскости, так как через любую точку в пространстве можно провести только один проецирующий луч (рис. 1.4).

2. Каждая точка на плоскости проекций может быть проекцией множества точек, если че- рез них проходит общий проецирующий луч (рис. 1.5).

3. Если точка принадлежит прямой, то проекция точки принадлежит проекции этой прямой (рис. 1.6).

A A A

A

B

A B

Рис. 1.5 Рис. 1.6

4. Отношение отрезков прямой равно отношению их проекций (рис. 1.6):

 

AB BC

A 0 B 0 B 0 C 0

.

5. Проекции параллельных прямых параллельны. Если АВ || СD то А ⁰ В ⁰ || С ⁰ D ⁰ (рис. 1.7).

6. Отношение отрезков параллельных прямых равно отношению их проекций (рис. 1.7)

AB CD

A 0 B 0 C 0 D 0

7. Если прямая перпендикулярна плоскости проекций, то проекцией этой прямой является точка (прямая AB рис. 1.8).

8. Если отрезок прямой параллелен плоскости проекций, то на эту плоскость отрезок спроецируется в натуральную величину (прямая CD рис. 1.8).

B

A A

B

A B

C

D

A B

D

C

Рис. 1.7 Рис. 1.8

 

1.4. Обратимость чертежа

Технический чертеж должен быть обратимым. Обратимость чертежа – это однознач- ное определение положения точки в пространстве по ее проекциям.

Если обратиться к чертежу на рис. 1.5, то нетрудно заметить, что точка А ⁰ может рас- сматриваться как проекция точек А ₁, А ₂, А ₃, лежащих на одном проецирующем луче. Действи- тельно, любая точка на плоскости ₀ является проекцией не единственной точки пространства, а целого множества точек, принадлежащих проецирующей прямой. Это значит, что одна проек- ция точки не определяет эту точку в пространстве. Поэтому для получения обратимого, т. е. метрически определенного чертежа, точку (или объект) проецируют на две или на три плоско- сти проекций, которые образуют в пространстве систему взаимно перпендикулярных плоско- стей. Формой предмета с точки зрения его изображения является его поверхность, которую можно представить как геометрическое множество точек. Поэтому операция проецирования сводится к изображению множества точек предмета на плоскостях проекций.

 

1.5. Точка в системе двух и трех плоскостей проекций

Изучение способов построения проекций любых объектов начинают с изучения правил построения проекций точек. Возьмем в пространстве две взаимно перпендикулярные плоско- сти. Одна из них располагается горизонтально – ее называют горизонтальной плоскостью про-

1.

екций и обозначают буквой Другая плоскость перпендикулярна горизонтальной и называет-

ся фронтальной плоскостью проекций. Эта плоскость обозначается буквой (рис. 1.9). Линия

2.

пересечения плоскостей проекций называется осью проекций. Ось проекций x разделяет каж- дую из плоскостей на две полуплоскости. Четыре двугранных угла I, II, III, IV, образованных при пересечении плоскостей, называются четвертями или квадрантами пространства.

Спроецируем точку А, расположенную в I четверти, на плоскости проекций ₁ и

Горизонтальной проекцией точки называют прямоугольную проекцию точки на горизонталь- ной плоскости проекций. Горизонтальную проекцию находим как точку пересечения перпенди-

куляра, проведенного из точки А, с плоскостью. Обозначим ее символом А'. Проведем из

точки А' в плоскости перпендикуляр на ось Оx и отметим вспомогательную точку А_{х .}

A''

A

II

I

III

A

IV

A'

 

Рис. 1.9

Фронтальной проекцией точки называют прямоугольную проекцию точки на фронталь- ной плоскости проекций. Фронтальную проекцию находим как точку пересечения перпендику-

2.

ляра, проведенного из точки А, с плоскостью Обозначим ее А''. Опустив перпендикуляр из

точки А'' в плоскости ₂ на ось Оx, получим вспомогательную точку А_х.

2.

Рассмотрим обратную задачу – построение точки А в пространстве по двум заданным ее проекциям – горизонтальной А' и фронтальной А''. Точку А находим в пересечении перпендику-

ляров, проведенных из проекции А' к плоскости

и из проекции А'' к плоскости

Эти пер-

пендикуляры пересекутся в единственной искомой точке А пространства.

Таким образом, две прямоугольные проекции точки вполне определяют ее положение в пространстве относительно данной системы взаимно перпендикулярных плоскостей проекций – т. е. чертеж становится обратимым.

Для получения плоского чертежа точки необходимо совместить плоскость ₁ с плоскостью поворотом вокруг оси Оx на угол 90 вниз по стрелке, как это показано на рис. 1.9. При этом отрезки А_хА'' и А_хА' образуют один отрезок А''А', перпендикулярный к оси Оx. Этот отрезок А''А' называется линией проекционной связи (рис. 1.10). В результате совмещения плоскостей проек- ций получается чертеж, известный под названием эпюр Монжа (Epure – чертеж (франц.)). Он был назван в честь основоположника начертательной геометрии французского ученого Гаспара

Монжа. Без обозначения плоскостей ₁ и на рис. 1.11.

этот чертеж будет выглядеть так, как это показано

1,

2.

Иногда двух проекций геометрического элемента бывает недостаточно, чтобы определить его форму и истинные размеры. Тогда выполняют построение изображения на третьей плоскости.

Введем в систему

третью плоскость проекций, перпендикулярную плоскостям ₁ и

Ее на-

зывают профильной плоскостью проекций и обозначают ₃ (рис. 1.12).

Три взаимно перпендикулярные плоскости проекций называются координатными плос- костями. Они пересекаются по трем взаимно перпендикулярным прямым Оx, Oy, Oz, которые называются осями координат и обозначаются x, y, z. Общая точка О – начало координат.

A'

A''

A

A''

A

A'

 

 

Плоскости

Рис. 1.10 Рис. 1.11

1,

2, 3,

пересекаясь между собой, делят пространство на восемь частей, на-

зываемых октантами, как это показано на рис. 1.12. В зависимости от положения точки относи- тельно плоскостей проекций ее координаты могут иметь положительные и отрицательные зна- чения. Например, в первом октанте все координаты имеют положительные, а в седьмом – отри- цательные значения.

+

A''

A

A

A'''

II

I

VI

III +

A

V

VIII

IV

A'

A

VII

+

 

Рис. 1.12

 

 

Несмотря на то, что проецируемый объект можно расположить в любом октанте, во мно- гих странах принято помещать изображаемый объект в первом октанте. Рассмотрим построение

трех проекций некоторой точки пространства. Зададимся произвольной точкой А (рис. 1.12).

Проецирование на плоскости и выполняется аналогично приведенному выше примеру

проецирования точки A на две плоскости проекций. Профильной проекцией точки является

3.

прямоугольная проекция точки на профильной плоскости проекций Обозначим ее А'''.

 

что:

Часто с осями проекций совмещают декартову систему координат. Из рис. 1.12 видно,

 

АА' = А''А_х = А'''А_у (высота z точки А – аппликата); АА'' = А'А_х = А'''А_z (глубина у точки А – ордината); АА''' = А'А_у = А''А_z (широта х точки А – абсцисса).

2,

Чтобы перейти к плоскому изображению, повернем плоскость вниз вокруг оси Оx и

плоскость ₃ вправо вокруг оси Oz до совмещения с плоскостью на рис. 1.12.

как это показано стрелками

При развороте плоскостей ₁ и ось y воспроизводится дважды. На рис. 1.13 показано

расположение проекций А', А'', А''' точки A после совмещения плоскостей проекций.

A''

A

A'''

x

A

A

A'

A

y

z

y

Рис. 1.13

Прямые, соединяющие на чертеже две проекции одной и той же точки, являются линия- ми проекционной связи, между А' и А'' – вертикальная линия связи, между А'' и А''' – горизон- тальная линия связи, между проекциями А' и А''' – ломаная линия связи. Переход от оси y плос-

кости

к оси y плоскости

может осуществляться при помощи дуги или вспомогательной

прямой, проведенной под углом 45 к оси y.

На рис. 1.14 выполнено построение профильной проекции А''' точки A по заданной го- ризонтальной А' и фронтальной А''. Построение выполняется следующим образом:

1. Проводим через проекцию А'' горизонтальную линию связи, на которой находится про- фильная проекция А'''.

2. Проводим ломаную линию связи через А'A_yA_y1А''' до пересечения с горизонтальной ли- нией связи, проведенной через фронтальную проекцию А''.

Профильную проекцию А''' можно получить, откладывая на горизонтальной линии связи от точки A _z отрезок, равный координате y.

Как известно, положение точки в пространстве может быть задано при помощи трех ее координат (абсциссы x, ординаты y, аппликаты z), т. е. трех чисел, выражающих расстояния от этой точки до трех плоскостей проекций. Запись координат точки производится в такой форме: А (х, у, z).

z

A''

A

A'''

A

A'

A y

A

y

Рис. 1.14

Предположим, задана точка А (15, 20, 30). Эта запись означает, что точка А определяется координатами х = 15, у = 20, z = 30. Если масштаб для построения чертежа задан или выбран, то построение проводят так, как показано на рис. 1.13, 1.14 – откладывается на оси x от точки О от- резок ОА_х = 15, а на перпендикуляре к этой оси, проведенном из точки А_{х ,} откладывают отрез- ки А_хА' = 20 и А_хА'' = 30. Затем строят профильную проекцию А''', как описано выше.

В дальнейшем все геометрические элементы (точки, прямые, фигуры, тела) будем рас- полагать в I четверти (I октанте) пространства.

 

1.6. Примеры решения задач

Задача 1. По заданным координатам точки А (15, 20, 30) построить ее проекции и на- глядное изображение в пространстве.

Решение.

Выбираем масштаб 1: 1 для решения задачи.

По оси Оx откладываем х = 15 (точка А_х рис. 1.15).

В точке А_х восстанавливаем перпендикуляр к оси (линия связи) и, отложив на нем у = 20 и z = 30, получим соответственно точку А' – горизонтальную проекцию точки A и точку А'' – фронтальную проекцию точки А.

Затем из точки А' проведем перпендикуляр к оси Оy (точка А_у). Радиусом ОА_у переносим точку А_у на ось Оy ₁ (точка А_{у 1}).

Из точки А_{у 1} восстанавливаем перпендикуляр к оси Оy ₁.

Из точки А'' проводим горизонтальную линию связи. В пересечении линий связи полу- чим точку А''' – профильную проекцию точки А.

Для определения положения точки в пространстве построим ее аксонометрическую про- екцию. Для этого воспользуемся известной из средней школы косоугольной фронтальной ди- метрической проекцией. Аксонометрические оси у этой проекции расположены так, как пока- зано на рис. 1.16.

z

A''

A

A'''

x

A

A

A'

A y

A''

z

A

A

A'''

x

A

A'

A

y

y

x

Рис. 1.15 Рис. 1.16

 

 

Отметим, что коэффициент искажения по осям x и z равен 1, а по оси y равен 0,5, т. е. численные значения координаты у необходимо уменьшать в два раза.

Отложив по осям значения координат (х = 15, у = 20, z = 30), как это показано на рис. 1.16, по- строим горизонтальную А', фронтальную А'' и профильную А''' проекции точки A. Из полученных про- екций проведем перпендикуляры к плоскостям проекций, которые пересекутся в точке A, являющейся аксонометрической проекцией исходной точки.

Задача 2. Построить недостающие проекции точек А, В, С, D (рис. 1.17). Заданные про- екции этих точек на чертеже показаны черными точками.

Решение. Недостающие проекции точек строят с помощью линий связи между проек- циями, направление которых указано стрелками. Выполнив необходимые построения, приве- денные на чертеже, получим искомые проекции точек, отмеченные красными точками и кре- стиками.

z

A''

A'''

B'' B''' '' '' '

'

A'

A

B'

y

A

'''

'''

y

Рис. 1.17

Домашнее задание:

На основе данного материала письменно ответьте на следующие вопросы:

1)Что называется прямоугольной проекцией точки?

2)Сформулируйте основные свойства прямоугольного проецирования.

3)Как называются и обозначаются плоскости проекций?

4)Что называется горизонтальной, фронтальной и профильной проекцией точки?

5)Какая существует зависимость во взаимном расположении проекций точки, изображенной в прямоугольной системе плоскостей проекций?

6)Как обозначаются проекции точек?

7)В какой последовательности записываются координаты точек?

 

Форма отчетности: прислать скан выполненной работы на электронный адрес:

nesterova.911@yandex.ru