Средний квадрат флуктуации числа частиц обычного идеального газа, находящихся в некотором выделенном в газе относительно малом объеме, мы найдем, подставив в формулу , следующее выражение:
. Это дает следующий простой результат;
.
Относительная флуктуация числа частиц равна, следовательно, просто обратному квадратному корню из среднего числа частиц: .
Для того чтобы вычислить флуктуацию числа частиц в идеальном газе Бозе или Ферми, следует воспользоваться формулой , подставив в нее выражение
для
как функции от
,
,
, получаемое интегрированием соответствующей функции распределения. Мы не станем выписывать здесь получающиеся таким способом довольно громоздкие выражения. Отметим лишь следующее обстоятельство. Можно видеть, что у бозе-гаэа при температурах
давление не зависит от объема; другими словами, его сжимаемость обращается в бесконечность. Согласно формуле отсюда следовало бы, что флуктуации числа частиц тоже становятся бесконечными. Это означает, что при вычислении флуктуации в бозе-газе при низких температурах нельзя пренебрегать взаимодействием его частиц, сколь бы слабым оно ни было; учет этого взаимодействия, которое должно существовать во всяком реальном газе, привел бы к конечным флуктуациям.
Рассмотрим флуктуации в распределении частиц газа по различным квантовым состояниям. Введем снова в рассмотрение квантовые состояния частиц (включая в это понятие также и различные состояния их поступательного движения), и пусть - их числа заполнения.
Рассмотрим совокупность , частиц, находящихся в
-м квантовом состоянии; ввиду полной статистической независимости этой системы частиц от остальных частиц газа можно применить к ней формулу
:
.
В применении к ферми-газу надо подставить сюда . Произведя дифференцирование, найдем
(*)
Аналогичным образом найдем для бозе-газа
. (**)
Для больцмановского газа при подстановке получается, формула
в которую переходят как (*), так и (**) при
.
Просуммируем формулу (*) или (**) по группе из близких друг к другу состояний, содержащих всего
частиц. В силу упомянутой уже статистической независимости флуктуации различных
получим
, (***)
где — общее значение близких друг к другу
, a
.
Полученные формулы можно применить, в частности, к черному излучению, для чего надо положить в (**) . Рассмотрим совокупность квантовых состояний фотонов (в объеме
) с близкими значениями частот, лежащими в малом интервале
; число таких состояний равно
. Общая энергия квантов в этом интервале частот есть
. Умножив формулу (***) на
и опуская индекс
, получим следующее выражение для флуктуации энергии
черного излучения в заданном интервале частот
:
.
Корреляция флуктуации
Утверждение, что в однородном изотропном теле (газ или жидкость) все положения частиц в пространстве равновероятны, относится к каждой данной частице при условии, что все остальные частицы могут занимать произвольные положения. Это утверждение, конечно, не находится в противоречии с тем, что между взаимным расположением различных частиц должна существовать в силу их взаимодействия некоторая корреляция; последняя означает, что если рассматривать, скажем, одновременно две частицы, то при заданном положении первой частицы различные положения второй будут неравновероятными.
Для упрощения записи дальнейших формул мы ограничимся рассмотрением одноатомного вещества, у которого положение каждой частицы полностью определяется ее тремя координатами.
Обозначим посредством число частиц, находящихся (в данный момент времени) в элементе объема
. В силу бесконечной малости объема
в нем может находиться одновременно не более одной частицы; вероятность нахождения в нем сразу двух частиц есть бесконечно малая величина более высокого порядка. Поэтому среднее число частиц
есть в то же время вероятность частице находиться в элементе
.
Рассмотрим среднее значение
, (*)
где — значения плотности числа частиц
в двух различных точках пространства, а посредством
обозначено среднее значение плотности, одинаковое в силу однородности тела во всех, его точках (
). Если бы между положениями различных частиц никакой корреляции не было, то мы имели бы
и среднее значение (*) обратилось бы в нуль. Таким образом эта величина может служить мерой корреляции.
Обозначим посредством вероятность частице находиться в элементе объема
при условии, что одна частица находится в элементе
;
есть функция абсолютной величины
относительного расстояния обоих элементов.
Поскольку, как уже было отмечено,. число есть 0 или 1, то очевидно, что среднее значение
или
В этом соотношении, справедливом при , нельзя, однако, перейти к пределу
, так как при выводе не учтено, что если точки 1 и 2 совпадают, то частица, находящаяся в
, тем самым находится и в
. Легко видеть, что соотношение, учитывающее это обстоятельство, имеет вид
. (**)
Действительно, выделим некоторый малый объем и, умножив (**) на
, проинтегрируем по этому объему. Член
даст при этом малую величину второго порядка (пропорциональную
); член же с
-функцией даст
, т. е. величину первого порядка. Мы получим, следовательно,
как и должно быть, принимая во внимание, что с точностью, до величин первого порядка в малом объеме может находиться лишь 0 или 1 частица. Подставляя (**) в (*), найдем:
, (***)
где мы ввели функцию
, (****)
которую будем называть функцией корреляции. Ясно, что корреляция должна исчезать при неограниченном возрастании расстояния , т.е.
. (*****)
Выделим в рассматриваемом теле некоторый конечный объем и, умножив равенство (***) на
, проинтегрируем по
и
. Имея в виду, что
где — полное число частиц в объеме
(так что
), найдем:
Переходя от интегрирования по и
к интегрированию, скажем, по
и по относительным координатам
, (произведение дифференциалов которых обозначим
) и имея в виду, что
зависит только от
, получим окончательно следующее выражение для интеграла от функции корреляции:
. (******)
Таким образом, интеграл от функции корреляции по некоторому объему связан со средним квадратом флуктуации полного числа частиц в этом объеме. Воспользовавшись для последнего термодинамической формулой , можно выразить этот интеграл через термодинамические величины:
(*******)
В обычном (классическом) идеальном газе получается:
как и должно быть. Ясно, что в идеальном газе, рассматриваемом с точки зрения классической механики, никакой корреляции между положениями различных частиц вообще нет, поскольку частицы идеального газа предполагаются невзаимодействующими друг с другом.
Напротив, в жидкости (при температурах, не близких к критической точке) первый член в выражении (*******) мал по сравнению с единицей в силу малой сжимаемости жидкости.. В этом случае можем написать:
Это значение интеграла от функции корреляции в некотором смысле соответствует взаимной непроницаемости частиц жидкости, рассматриваемых как плотно упакованные твердые шарики.
Далее, умножим равенство (***) с обеих сторон на и снова проинтегрируем по
Мы получим:
или окончательно:
. (********)
Это соотношение определяет компоненты Фурье функции корреляции через средние квадраты компонент Фурье плотности .