Представим себе сосуд, из которого вытекает вода. В момент времени t поток воды вычисляется по формуле q=q(t). Найдем объем воды, вытекающей из сосуда за промежуток времени [t1; t2]. Объем воды, находящейся в сосуде, обозначим через V. Этот объем со временем меняется, т. е. V есть функция времени t.
Рассмотрим промежуток времени [t1; t2]. Очевидно, что за это время из сосуда вытечет V(t2)-V(t1) воды. С другой стороны, поток воды – это величина, характеризующая скорость изменения количества воды в сосуде, т.е. dV=q(t)dt. Следовательно, вычисление объема воды, вытекающей из сосуда за промежуток времени [t1; t2], сводится к отысканию первообразной функции q(t).
Разность V(t2)-V(t1) называют интегралом от функции q(t) на отрезке [t1; t2] и обозначают так:
Все вышерассмотренные модели – это наиболее часто встречающиеся в школьном курсе физики законы и формулы, поэтому они не требуют от учащихся дополнительных знаний по физике, а, следовательно, удовлетворяют как принципу научности, так и принципу доступности материала.
5. Самостоятельная работа.
Учащиеся самостоятельно прорешивают задачи с использованием свойств интеграла.
№1. Вычислите силу давления воды на вертикальный прямоугольный шлюз с основанием 18 м и высотой 6 м.
Решение. Сила давления воды зависит от глубины х погружения площадки: P(x)=ax, где а – площадь площадки. Получаем
(т)
№2. Тело массой 1 движется с ускорением, меняющимся линейно по закону a(t)=2t-1. Какой путь пройдёт тело за 4 единицы времени от начала движения t=0, если в начальный момент его скорость равнялась 2?
Решение. Скорость тела в любой момент времени t вычисляется по формуле
v=v0+at
Используя данные задачи, получаем:
№3. Тело брошено с поверхности Земли вертикально вверх с начальной скоростью v0. Какова наибольшая высота, достигаемая телом?
Решение. Скорость тела в любой момент времени t движения равна разности начальной скорости и скорости gt, вызванной ускорением, определяемым силой тяжести: v=v0-gt. Движение вверх будет происходить при v=v0-gt>0, т. е. при . Таким образом, максимальная высота полета равна
№4. На прямой расположены материальная точка массы m и однородный стержень массы M и длины l. Точка удалена от концов стержня на расстояния c и c+l. Определить силу гравитационного притяжения между стержнем и точкой.
Решение. Разобьем отрезок [c; c+l] на большое число отрезков. Если отрезки эти малы, то массу каждого из них можно считать точечной и силу гравитационного притяжения между таким отрезком и массой m вычислять по закону всемирного тяготения. Если длина отрезка равна Δх, а расстояние его от начала координат равно х, то сила гравитационного притяжения равна
Δх
Суммируя полученные для каждого отрезка значения силы гравитационного притяжения, мы получим представление искомой силы в виде суммы тем более точное, чем мельче отрезки, на которые мы разбивали отрезок [c; c+l]. В пределе получим
6. Подведение итогов урока. Вывод о проблеме урока. Задание домашнего задания.
Урок-КВН по теме "Интеграл"
Цель: обобщение изученного материала по теме, формирование умений применять математические задания к решению практических задач.
Задачи:
Развивающие: развитие познавательной потребности, творческих способностей.
Воспитательные: воспитание интереса к предмету, воспитание чувства коллективизма и взаимовыручки.
КВН проводится интерактивно с помощью сайта школы.
На экране ЭВМ написано:
I команда | II команда |
(Ниже ведётся запись полученных очков).
Правила игры.
Класс разбивается на две команды.
Выбираются капитаны команд.
Капитаны назначают консультантов.
Для участия во всех видах работы ученики вызываются к доске капитанами команд.
Ход урока.
1 этап. Разминка – ведется на бумажном носителе.
На экране ЭВМ написаны задания.
Докажите, что функция F(х) является первообразной для функции f(х) на промежутке
F(х) = + 3х – 5,
f(х) = 3( + 1)
Найдите общий вид первообразной для функции:
f(х) = 2х3 – 6 + х – 1
Вычислите интеграл:
а) ;
б) .
Найдите первообразную функцию f(х) = 4 – , график которой проходит через точку (–3; 10).
Решение:
F'(х) = (х3 +3х – 5)' = 3 + 3 = 3( +1)
F'(х) = f(х).
F(х) является первообразной f(х)
2.
3. а)
б)
4.
Консультанты каждой команды собирают тетради и передают консультантам другой команды для проверки. Побеждает та команда, у которой больше сумма очков.
II этап. Блиц – турнир – проводится с помощью ЭВМ (желательно применение проектора). Найдите ошибку: (с классом)
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8. Тело движется по прямой так, что расстояние S до него от некоторой точки А этой прямой изменяется по закону
S = 0,5 + 3t + 2(м),
где t – время движения в секундах.
Найти U тела через 7 сек.
U (7) = 10 м/сек.
III этап. Домашнее задание.
К доске приглашаются по 1 ученику от каждой команды.
1. С помощью интеграла вывести формулу объёма конуса.
2. С помощью интеграла вывести формулу объёма шара.
Решение:
Рисунок 1
Дано: АВ = R
ОВ = H.
Вывести формулу V конуса.
Вывод: При вращении прямоугольного треугольника ОАВ вокруг оси ОХ, содержащей катет
ОВ получается конус. Треугольник ОАВ является частным случаем криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции y=f(х) (прямой ОА), прямыми х = 0 и х = Н, осью абсцисс. V тела вращения вычисляется по формуле
Найдём уравнения прямой ОВ:
Вывод: V конуса равен произведения площади основания на высоту.
Решение 2:
Рисунок 2
Дано: полукруг (О;R)
Вывести формулу V шара.
Вывод: При вращении полукруга вокруг оси ОХ, получаем тело вращения шар.
Полукруг является частным видом криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции у=f(х) и прямыми х = – R, х = R, у = 0.
Уравнение окружности имеет вид
+ =
= –
Подставим в формулу:
Вывод: V шара радиуса R равен 4/3 .
IV этап. Конкурс капитанов.
1. Вычислите площадь фигуры, ограниченной графиками функций
2. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями
В процессе решения задач капитанами, учащиеся решают задачи капитанов из противоположных команд и готовят для него вопросы по теме заданий. По результатам решения задачи и ответов на вопросы, капитаны получают соответствующие баллы.
Решение задания 1.
1. Найдём абсциссы точек пересечения графиков данных функций:
2. Постройте графики данных функций с применением ИКТ.
х | ||||||
у |
х | ||
у |
V этап. Конкурс болельщиков – задания проектируются на доску с помощью проектора, а также дублируются на сайте школы.
1). Чему равен путь, пройденный точкой, движущейся прямолинейно, за отрезок времени от t1=1с до t2 = 4с, если скорость точки U(t) = (2t? – 3t) м/с?
Чему равно ускорение этой точки в момент времени t = 2с?
2). Тело движется прямолинейно со скоростью U(t) = (3 – 2t)
Найти путь, пройденный телом за первые 5 сек.
Чему равно ускорение тела в момент t = 5 c?
Решение 1.
Решение 2.
VI этап. Конкурс эрудитов - задания проектируются на доску с помощью проектора, а также дублируются на сайте школы
1. Вычислите:
2. Вычислите:
Решение 1.
Пусть
Решение 2.
Пусть
VII этап. Конкурс консультантов. (дополнительный) – проводится при помощи Mathcad.
1. Исследуйте функцию f(х) = – х? + 3х? – 4 и постройте её график.
2. Исследуйте функцию f(х) = х? - 3х? + 4 и постройте её график.
VIII этап. Подведение итогов.
Выигравшая команда объявляется победительницей, а многие учащиеся получают оценки.
Приложение 2
Методы исследования
Анкета 1. Познавательный интерес.
Цель: выявить уровень развития познавательных интересов учащихся.
Порядок проведения: учащимся предлагается заполнить следующую анкету, выбрав один из предложенных вариантов ответа на вопрос.
1. Связаны ли интересы ученика с выбором будущей профессии?
а) связаны очень тесно;
б) связаны, но мало сопровождаются соответствующей организацией деятельности;
в) никак не связаны.
2. Обращается ли ученик к серьезным источникам: пользуется ли научной литературой, работает ли со словарем и так далее?
а) постоянно;
б) иногда;
в) очень редко.
3. Ставит ли перед собой задачи, выполнение которых невозможно в один присест и требует кропотливой работы в течение многих дней и даже месяцев?
а) большинство занятий подчинено этому принципу;
б) ставит такие задачи, но редко выполняет;
в) не ставит долговременных задач.
4. В какой мере, занимаясь любимым делом, может делать "черную", неинтересную работу (например, выполнять длительные вычисления при решении задач)?
а) делает всегда столько, сколько нужно;
б) делает периодически;
в) не любит выполнять неинтересную для него работу.
5. Способен ли при необходимости заниматься продолжительное время интеллектуальной деятельностью, жертвуя развлечениями, а иногда и отдыхом?
а) всегда, когда это нужно;
б) только изредка;
в) не способен.
Анализ: за каждый ответ а) начисляется 2 балла, за ответ б) - 1 балл, за в)- 0 баллов. Затем суммируют набранные учеником баллы. Результат:
от 8 до 10 баллов - показатель высокого уровня развития познавательного интереса;
от 4 до 7 баллов - показатель среднего уровня;
3 и ниже баллов - низкий уровень развития познавательного интереса.
Анкета 2. Познавательная потребность
Цель – изучение познавательной потребности учащегося
Ход проведения.
Учащимся предлагается анкета с пятью вопросами. Их просят внимательно прочитать возможные варианты ответа и отметьте у себя в бланке ответов вариант ответа, которое наиболее всего подходит им.
№ п/п | Вопрос | Возможные ответы | Балл |
Как часто ученик подолгу занимается какой-нибудь умственной работой (час-полтора — для младшего школьника, несколько часов - подряд— для подростков)? | а) часто б) иногда в) очень редко | ||
Что предпочитает школьник, когда задан вопрос на сообразительность? | а) помучиться, но самому найти ответ б) когда как в) получить готовый ответ от других | ||
Много ли читает школьник дополнительной литературы? | а) постоянно, много б) иногда много, иногда ничего не читает в) мало или совсем ничего не читает | ||
Насколько эмоционально ученик относится к интересному для него занятию, связанному с умственной работой? | а) очень эмоционально б) когда как в) эмоции ярко выражены (по сравнению с другими ситуациями) | ||
Часто ли задает вопросы? | а) часто б) иногда в) очень редко |
Интенсивность познавательной потребности определяется суммой баллов: 17-25 баллов – потребность выражена сильно, 12-16 баллов – умеренно, меньше 12 баллов – слабо.
Анкета 3. Мое учение.
Цель: выявить отношение школьников к учению, предметную направленность их познавательных интересов, изучить некоторые особенности процесса самостоятельной деятельности учащихся.
Методика представляет собой проективный тест, заданный в форме неоконченных предложений.
Порядок проведения: учитель раздает листы, объявляет цель работы и дает инструкцию учащимся, внимательно читая текст, указать (дописать) то, что отражает особенности их учебной деятельности.
I. Учиться в школе мне:
а) интересно;
б) неинтересно;
в) не знаю.
II. Мои любимые предметы: _______________________________.
III. При выполнении самостоятельной работы я:
а) сразу же приступаю к делу, работаю всегда быстро, даже если допускаю при этом ошибки;
б) сначала стараюсь понять задание, тщательно анализирую его, но потом действую уверенно;
в) очень долго думаю над заданием, не решаюсь приступить к его выполнению, чувствую себя неуверенно.
IV. При выполнении самостоятельных работ всегда волнуюсь, так как ___.
V. Чувствую себя всегда спокойно, так как ____________________________.
VI. Трудности у меня:
а) бывают всегда;
б) иногда;
в) не встречаются.
VII. Чаще всего я:
а) не понимаю цель работы;
б) не понимаю задание;
в) не понимаю, как его выполнить;
г) не умею контролировать ход своей работы;
д) не знаю, как проверить результаты работы;
е) не умею правильно распределить время.
VIII. Я очень дорожу всегда помощью ___________________________________.
IX. Если бы я был учителем, то таким как я ученикам, при выполнении заданий ____________________________________________________________.
Коротко о себе: 1) учусь на 4-5;
а) имею 3;
б) не успеваю по некоторым предметам;
в) увлекаюсь _______________________;
г) хочу стать _______________________.
Анализ: обработка первых двух вопросов дает возможность выявить самооценку отношения учащихся к учению. Остальные ответы характеризуют индивидуальные особенности процесса самостоятельной деятельности. На основе их анализа можно выделить:
а) учащихся, которые приступая к решению задачи, действуют импульсивно, торопятся, не всегда замечают ошибки, а, следовательно, требуют внимания учителя на начальном этапе работы;
б) учащихся, которые действуют взвешено, спокойно, уверенно;
в) "тугодумы" - у которых затянут ориентировочный этап, заметны нерешительность и робость.
В связи с этим анализируются и сопоставляются данные, характеризующие эмоциональное состояние учащихся при выполнении заданий, типичные затруднения.