Данная задача проста и наглядна в своей постановке для учащихся.




Представим себе сосуд, из которого вытекает вода. В момент времени t поток воды вычисляется по формуле q=q(t). Найдем объем воды, вытекающей из сосуда за промежуток времени [t1; t2]. Объем воды, находящейся в сосуде, обозначим через V. Этот объем со временем меняется, т. е. V есть функция времени t.

Рассмотрим промежуток времени [t1; t2]. Очевидно, что за это время из сосуда вытечет V(t2)-V(t1) воды. С другой стороны, поток воды – это величина, характеризующая скорость изменения количества воды в сосуде, т.е. dV=q(t)dt. Следовательно, вычисление объема воды, вытекающей из сосуда за промежуток времени [t1; t2], сводится к отысканию первообразной функции q(t).

Разность V(t2)-V(t1) называют интегралом от функции q(t) на отрезке [t1; t2] и обозначают так:

 

 

Все вышерассмотренные модели – это наиболее часто встречающиеся в школьном курсе физики законы и формулы, поэтому они не требуют от учащихся дополнительных знаний по физике, а, следовательно, удовлетворяют как принципу научности, так и принципу доступности материала.

5. Самостоятельная работа.

Учащиеся самостоятельно прорешивают задачи с использованием свойств интеграла.

№1. Вычислите силу давления воды на вертикальный прямоугольный шлюз с основанием 18 м и высотой 6 м.

Решение. Сила давления воды зависит от глубины х погружения площадки: P(x)=ax, где а – площадь площадки. Получаем

 

(т)

 

№2. Тело массой 1 движется с ускорением, меняющимся линейно по закону a(t)=2t-1. Какой путь пройдёт тело за 4 единицы времени от начала движения t=0, если в начальный момент его скорость равнялась 2?

Решение. Скорость тела в любой момент времени t вычисляется по формуле

 

v=v0+at

 

Используя данные задачи, получаем:

 

 

№3. Тело брошено с поверхности Земли вертикально вверх с начальной скоростью v0. Какова наибольшая высота, достигаемая телом?

Решение. Скорость тела в любой момент времени t движения равна разности начальной скорости и скорости gt, вызванной ускорением, определяемым силой тяжести: v=v0-gt. Движение вверх будет происходить при v=v0-gt>0, т. е. при . Таким образом, максимальная высота полета равна

 

 

№4. На прямой расположены материальная точка массы m и однородный стержень массы M и длины l. Точка удалена от концов стержня на расстояния c и c+l. Определить силу гравитационного притяжения между стержнем и точкой.

Решение. Разобьем отрезок [c; c+l] на большое число отрезков. Если отрезки эти малы, то массу каждого из них можно считать точечной и силу гравитационного притяжения между таким отрезком и массой m вычислять по закону всемирного тяготения. Если длина отрезка равна Δх, а расстояние его от начала координат равно х, то сила гравитационного притяжения равна

 

Δх

 

Суммируя полученные для каждого отрезка значения силы гравитационного притяжения, мы получим представление искомой силы в виде суммы тем более точное, чем мельче отрезки, на которые мы разбивали отрезок [c; c+l]. В пределе получим

 

 

6. Подведение итогов урока. Вывод о проблеме урока. Задание домашнего задания.

 


Урок-КВН по теме "Интеграл"

Цель: обобщение изученного материала по теме, формирование умений применять математические задания к решению практических задач.

Задачи:

Развивающие: развитие познавательной потребности, творческих способностей.

Воспитательные: воспитание интереса к предмету, воспитание чувства коллективизма и взаимовыручки.

КВН проводится интерактивно с помощью сайта школы.

На экране ЭВМ написано:

 

I команда II команда

 

(Ниже ведётся запись полученных очков).

Правила игры.

Класс разбивается на две команды.

Выбираются капитаны команд.

Капитаны назначают консультантов.

Для участия во всех видах работы ученики вызываются к доске капитанами команд.

Ход урока.

1 этап. Разминка – ведется на бумажном носителе.

На экране ЭВМ написаны задания.

Докажите, что функция F(х) является первообразной для функции f(х) на промежутке

 

F(х) = + 3х – 5,

f(х) = 3( + 1)

 


Найдите общий вид первообразной для функции:

 

f(х) = 2х3 – 6 + х – 1

 

Вычислите интеграл:

 

а) ;

б) .

 

Найдите первообразную функцию f(х) = 4 – , график которой проходит через точку (–3; 10).

Решение:

 

F'(х) = (х3 +3х – 5)' = 3 + 3 = 3( +1)

F'(х) = f(х).

F(х) является первообразной f(х)

2.

3. а)

б)

4.


 

Консультанты каждой команды собирают тетради и передают консультантам другой команды для проверки. Побеждает та команда, у которой больше сумма очков.

II этап. Блиц – турнир – проводится с помощью ЭВМ (желательно применение проектора). Найдите ошибку: (с классом)

 

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.


8. Тело движется по прямой так, что расстояние S до него от некоторой точки А этой прямой изменяется по закону

 

S = 0,5 + 3t + 2(м),

 

где t – время движения в секундах.

Найти U тела через 7 сек.

U (7) = 10 м/сек.

III этап. Домашнее задание.

К доске приглашаются по 1 ученику от каждой команды.

1. С помощью интеграла вывести формулу объёма конуса.

2. С помощью интеграла вывести формулу объёма шара.

Решение:

 

Рисунок 1

 

Дано: АВ = R

ОВ = H.

Вывести формулу V конуса.

Вывод: При вращении прямоугольного треугольника ОАВ вокруг оси ОХ, содержащей катет

ОВ получается конус. Треугольник ОАВ является частным случаем криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции y=f(х) (прямой ОА), прямыми х = 0 и х = Н, осью абсцисс. V тела вращения вычисляется по формуле

 

 

Найдём уравнения прямой ОВ:

 

 

Вывод: V конуса равен произведения площади основания на высоту.

Решение 2:

 

Рисунок 2

 

Дано: полукруг (О;R)

Вывести формулу V шара.

Вывод: При вращении полукруга вокруг оси ОХ, получаем тело вращения шар.

 

 

Полукруг является частным видом криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции у=f(х) и прямыми х = – R, х = R, у = 0.

Уравнение окружности имеет вид

 

+ =

=

 

Подставим в формулу:

 

 

Вывод: V шара радиуса R равен 4/3 .

IV этап. Конкурс капитанов.

1. Вычислите площадь фигуры, ограниченной графиками функций

 

 

2. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями

 


В процессе решения задач капитанами, учащиеся решают задачи капитанов из противоположных команд и готовят для него вопросы по теме заданий. По результатам решения задачи и ответов на вопросы, капитаны получают соответствующие баллы.

Решение задания 1.

1. Найдём абсциссы точек пересечения графиков данных функций:

 

 

2. Постройте графики данных функций с применением ИКТ.

 

 

х            
у            

 

 

х    
у    

 


V этап. Конкурс болельщиков – задания проектируются на доску с помощью проектора, а также дублируются на сайте школы.

1). Чему равен путь, пройденный точкой, движущейся прямолинейно, за отрезок времени от t1=1с до t2 = 4с, если скорость точки U(t) = (2t? – 3t) м/с?

Чему равно ускорение этой точки в момент времени t = 2с?

2). Тело движется прямолинейно со скоростью U(t) = (3 – 2t)

Найти путь, пройденный телом за первые 5 сек.

Чему равно ускорение тела в момент t = 5 c?

Решение 1.

 

 

Решение 2.

 

 

VI этап. Конкурс эрудитов - задания проектируются на доску с помощью проектора, а также дублируются на сайте школы

1. Вычислите:

 


2. Вычислите:

 

 

Решение 1.

 

 

Пусть

 

 

Решение 2.

 

Пусть

 


 

VII этап. Конкурс консультантов. (дополнительный) – проводится при помощи Mathcad.

1. Исследуйте функцию f(х) = – х? + 3х? – 4 и постройте её график.

2. Исследуйте функцию f(х) = х? - 3х? + 4 и постройте её график.

VIII этап. Подведение итогов.

Выигравшая команда объявляется победительницей, а многие учащиеся получают оценки.

 


Приложение 2

 

Методы исследования

Анкета 1. Познавательный интерес.

Цель: выявить уровень развития познавательных интересов учащихся.

Порядок проведения: учащимся предлагается заполнить следующую анкету, выбрав один из предложенных вариантов ответа на вопрос.

1. Связаны ли интересы ученика с выбором будущей профессии?

а) связаны очень тесно;

б) связаны, но мало сопровождаются соответствующей организацией деятельности;

в) никак не связаны.

2. Обращается ли ученик к серьезным источникам: пользуется ли научной литературой, работает ли со словарем и так далее?

а) постоянно;

б) иногда;

в) очень редко.

3. Ставит ли перед собой задачи, выполнение которых невозможно в один присест и требует кропотливой работы в течение многих дней и даже месяцев?

а) большинство занятий подчинено этому принципу;

б) ставит такие задачи, но редко выполняет;

в) не ставит долговременных задач.

4. В какой мере, занимаясь любимым делом, может делать "черную", неинтересную работу (например, выполнять длительные вычисления при решении задач)?

а) делает всегда столько, сколько нужно;

б) делает периодически;

в) не любит выполнять неинтересную для него работу.

5. Способен ли при необходимости заниматься продолжительное время интеллектуальной деятельностью, жертвуя развлечениями, а иногда и отдыхом?

а) всегда, когда это нужно;

б) только изредка;

в) не способен.

Анализ: за каждый ответ а) начисляется 2 балла, за ответ б) - 1 балл, за в)- 0 баллов. Затем суммируют набранные учеником баллы. Результат:

от 8 до 10 баллов - показатель высокого уровня развития познавательного интереса;

от 4 до 7 баллов - показатель среднего уровня;

3 и ниже баллов - низкий уровень развития познавательного интереса.

Анкета 2. Познавательная потребность

Цель – изучение познавательной потребности учащегося

Ход проведения.

Учащимся предлагается анкета с пятью вопросами. Их просят внимательно прочитать возможные варианты ответа и отметьте у себя в бланке ответов вариант ответа, которое наиболее всего подходит им.

 

№ п/п Вопрос Возможные ответы Балл
  Как часто ученик подолгу занимается какой-нибудь умственной работой (час-полтора — для младшего школьника, несколько часов - подряд— для подростков)? а) часто б) иногда в) очень редко  
  Что предпочитает школьник, когда задан вопрос на сообразительность? а) помучиться, но самому найти ответ б) когда как в) получить готовый ответ от других  
  Много ли читает школьник дополнительной литературы? а) постоянно, много б) иногда много, иногда ничего не читает в) мало или совсем ничего не читает  
  Насколько эмоционально ученик относится к интересному для него занятию, связанному с умственной работой? а) очень эмоционально б) когда как в) эмоции ярко выражены (по сравнению с другими ситуациями)  
  Часто ли задает вопросы? а) часто б) иногда в) очень редко  

 

Интенсивность познавательной потребности определяется суммой баллов: 17-25 баллов – потребность выражена сильно, 12-16 баллов – умеренно, меньше 12 баллов – слабо.

Анкета 3. Мое учение.

Цель: выявить отношение школьников к учению, предметную направленность их познавательных интересов, изучить некоторые особенности процесса самостоятельной деятельности учащихся.

Методика представляет собой проективный тест, заданный в форме неоконченных предложений.

Порядок проведения: учитель раздает листы, объявляет цель работы и дает инструкцию учащимся, внимательно читая текст, указать (дописать) то, что отражает особенности их учебной деятельности.

I. Учиться в школе мне:

а) интересно;

б) неинтересно;

в) не знаю.

II. Мои любимые предметы: _______________________________.

III. При выполнении самостоятельной работы я:

а) сразу же приступаю к делу, работаю всегда быстро, даже если допускаю при этом ошибки;

б) сначала стараюсь понять задание, тщательно анализирую его, но потом действую уверенно;

в) очень долго думаю над заданием, не решаюсь приступить к его выполнению, чувствую себя неуверенно.

IV. При выполнении самостоятельных работ всегда волнуюсь, так как ___.

V. Чувствую себя всегда спокойно, так как ____________________________.

VI. Трудности у меня:

а) бывают всегда;

б) иногда;

в) не встречаются.

VII. Чаще всего я:

а) не понимаю цель работы;

б) не понимаю задание;

в) не понимаю, как его выполнить;

г) не умею контролировать ход своей работы;

д) не знаю, как проверить результаты работы;

е) не умею правильно распределить время.

VIII. Я очень дорожу всегда помощью ___________________________________.

IX. Если бы я был учителем, то таким как я ученикам, при выполнении заданий ____________________________________________________________.

Коротко о себе: 1) учусь на 4-5;

а) имею 3;

б) не успеваю по некоторым предметам;

в) увлекаюсь _______________________;

г) хочу стать _______________________.

Анализ: обработка первых двух вопросов дает возможность выявить самооценку отношения учащихся к учению. Остальные ответы характеризуют индивидуальные особенности процесса самостоятельной деятельности. На основе их анализа можно выделить:

а) учащихся, которые приступая к решению задачи, действуют импульсивно, торопятся, не всегда замечают ошибки, а, следовательно, требуют внимания учителя на начальном этапе работы;

б) учащихся, которые действуют взвешено, спокойно, уверенно;

в) "тугодумы" - у которых затянут ориентировочный этап, заметны нерешительность и робость.

В связи с этим анализируются и сопоставляются данные, характеризующие эмоциональное состояние учащихся при выполнении заданий, типичные затруднения.



Поделиться:




Поиск по сайту

©2015-2024 poisk-ru.ru
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.
Дата создания страницы: 2019-05-16 Нарушение авторских прав и Нарушение персональных данных


Поиск по сайту: