Слева появляется таблица с результатами регрессионного анализа (рис.7.3) и справа график зависимости d =f(U) (рис.7.4). Таблицу (график) раскрываем двумя щелчками левой кнопкой мыши на поле таблицы (графика).
Рис. 7.3. Результаты регрессионного анализа
Этот график (рис.7.4) отличается от поля корреляции (рис.7.2 [1]) тем, что, во-первых, он построен в других координатах, а во-вторых, вокруг линии регрессии нанесены границы доверительных интервалов. Очевидно, что, если в таблице (рис.7.2) поменять местами зависимую и независимую переменную, то график на рис.7.4 примет такой же вид как рис.7.2 в [1], но с границами доверительных интервалов.
Теперь займёмся извлечением нужной информации из таблицы регрессионного анализа (Regression Analysis: - Linear model Y= a + b *X) (рис. 7.3). Информации потребуется не много. Прежде всего, это коэффициент парной корреляции (Correlation Coefficient = - 0,963361) и параметры уравнения регрессии
d =3,55-5,21·10-4· U.
Видно, что эти параметры и коэффициент парной корреляции отлично совпали с результатами примера 7.1 из [1].
Рис. 7.4. Поле корреляции
Действуя аналогичным образом, можно получить уравнение регрессии U=f(d).
8 РЕГРЕССИОННЫЙ АНАЛИЗ РЕЗУЛЬТАТОВ СОВМЕСТНЫХ
ИЗМЕРЕНИЙ ДЛЯ СЛУЧАЯ ЛИНЕЙНОЙ МОДЕЛИ
8.1. Цель занятия
Практическое освоение получения уравнения регрессии методом наименьших квадратов (МНК); оценки погрешностей параметров уравнения регрессии; проверки адекватности экспериментальных данных линейной модели; сравнения параметров двух уравнений регрессии.
8.2. Создание электронной таблицы с данными для статистического анализа.
Исходное положение: Рабочее окно системы STATGRAPHICS Plus for Windows. Для проведения регрессионного анализа результатов совместных измерений заполняем, как это описано в работе 1, две колонки (рис.8.1), (пример 8.1 [1]).
Рис. 8.1. Рабочее окно системы, подготовленное для регрессионного анализа
8.3. Статистический анализ
Статистическому анализу результатов совместных измерений обязательно предшествует графический анализ, то есть построение графика, в данном случае, ρ=f(T). Для этого последовательно щёлкаем левой кнопкой мыши на Plot (График) / Scatterplots (Графики результатов измерений)/ X-Y Plot (График в координатах Y-X). В выпадающей таблице отмечаем, какие переменные откладываем по оси Y (в данном случае Сопротивление) и какие по оси X (Температура) и далее нажимаем кнопку OK.
Справа появляется вполне приличный график зависимости электросопротивления от температуры, который можно:
- растянуть на весь экран, щелкнув два раза левой кнопкой мыши;
- отредактировать, для чего щёлкнуть правой кнопкой мыши на поле графика и в выпавшем меню раскрыть Graphics Options (Операции с графиками );
- сохранить (записать) график (Save Graph) и затем вставить его при необходимости в отчёт (рис.8.2).
Рис. 8.2. Зависимость электросопротивления от температуры по данным рис.8.1
Видно, что зависимость ρ=f(T) близка к линейной, что в первом приближении позволяет оценить параметры линейной модели методом наименьших квадратов.
Для этого закрываем окно с графиком и последовательно щёлкаем левой кнопкой мыши по Relate (В данном контексте это выяснение отношений между зависимыми и независимыми переменными)/ Simple Regression (Простая регрессия). В данном случае речь идёт об однофакторной модели, которая может быть как линейной, так и более сложной. В выпадающей таблице отмечаем, какие переменные откладываем по оси Y (в данном случае Сопротивление) и какие по оси X (Температура) и далее нажимаем кнопку OK.
Слева появляется таблица с результатами регрессионного анализа и справа график зависимости ρ=f(T). Этот график отличается от ранее построенного (рис.8.2) тем, что вокруг линии регрессии нанесены границы доверительных интервалов ΔYi для Yi, вычисленные по уравнению 8.17 [1] для двух доверительных вероятностей 0,9 и 0,95. Поскольку они очень узкие, то они практически сливаются с линией регрессии и график здесь не приводится.
Теперь займёмся извлечением нужной информации из таблиц регрессионного анализа (Regression Analysis: - Linear model Y= a + b *X), для чего раскроем таблицу во весь экран двумя щелчками левой кнопкой мыши на поле таблицы (рис.8.3).Ниже названия таблицы раскрываются имена зависимой переменной Y (Dependent variable – Сопротивление) и независимой переменной – X (Independent variable – Температура). Латинские буквы a и b в уравнении регрессии на рис.8.3 соответствуют обозначениям коэффициентов регрессии b 0 и b 1, принятым в ПЗ 8 [1].
В первом столбике таблицы приведены определённые параметры уравнения регрессии: b 0– Intercept (Пересечение) и b1 - Slope (Наклон); во втором столбике их оценки (Estimate b 0= - 6,31725 и b1 = 0,0297636); в третьем столбике корни квадратные из выборочных дисперсий 
и 
(формулы 8.7 и 8.8 в ПЗ 8 [1]) коэффициентов регрессии b 0 и b1 (Standard Error Sb o=0,393116 и Sb 1=0,000220031; в четвёртом столбике эмпирические значения критерия Стьюдента (T-Statistic), по значениям которых оценивают значимость коэффициен -
Рис. 8.3. Таблица с результатами регрессионного анализа зависимости ρ=f(T).
тов регрессии b 0 и b1. Они существенно превосходят критическое значение критерия Стьюдента (t 0,05;5=2,571), что свидетельствует о значимом отличие коэффициентов регрессии от нуля. Стоит также обратить внимание на цифры в пятом столбике P-Value (0,0000 и 0,0000), которые свидетельствуют о нулевой вероятности отсутствия связи между переменными (о значимости коэффициентов регрессии). Если какая-то из этих величин будет более 0,05, то это сигнал о незначимости соответствующего коэффициента регрессии.
Далее, зная значения Sb o=0,393116 и Sb 1=0,000220031, оцениваем погрешности коэффициентов регрессии, как это описано в ПЗ 8 [1].
Собственно на этом заканчивается решение примера 8.1 из ПЗ 8 [1]: коэффициенты регрессии определены, их значимость доказана, погрешности коэффициентов регрессии также определены. Но таблица с результатами регрессионного анализа зависимости ρ=f(T) (рис. 8.3) содержит ещё много дополнительной информации, овладение которой требует более углублённого освоения регрессионного анализа [4].
Рис. 8.4. Обобщённые данные регрессионного анализа модели ρ=f(T)
По мере освоения регрессионного анализа все вышеописанные шаги можно значительно сократить, получив при этом дополнительную информацию, в частности, о поведении остатков [4], что может служить графической проверкой адекватности линейной модели.
Для этого после создания электронной таблицы в системе STATGRAPHICS Plus for Windows (рис. 8.1) последовательно щёлкаем левой кнопкой мыши на SnapStats (Статистика)/ Curve Fitting (Эмпирическая кривая регрессии, положение которой определяется коэффициентами регрессии), в результате чего получаем обобщённую картину результатов регрессионного анализа (рис. 8.4.).
9 ОДНОФАКТОРНЫЙ ДИСПЕРСИОННЫЙ АНАЛИЗ
9.1. Цель занятия
Практическое освоение основных идей дисперсионного анализа на примере однофакторного дисперсионного анализа.
9.2. Создание электронной таблицы с данными для статистического анализа (рис.9.1) ничем не отличается от создания таблиц для регрессионного или корреляционного анализов. Разница лишь в том, что в случае дисперсионного анализа в колонке фактора, влияние которого на выходную переменную изучается, можно откладывать как численные значения этого фактора, так и качественные, неколичественные значения. Например, день недели, тип прибора, исполнитель. В последнем случае каждому неколичественному признаку присваивается код, например, понедельник − кодируется как единица, вторник − как двойка и так далее. Так и сделано в примере 9.1 [2], где садки закодированы порядковыми номерами.
Рис. 9.1. Фрагмент таблицы с исходными данными