Министерство образования и науки Самарской области
Государственное бюджетное образовательное учреждение
Среднего профессионального образования
«Самарский машиностроительный колледж»
Методические указания к практическому занятию по математике
«Решение дифференциальных уравнений первого порядка»
Автор: Галынина Ирина Александровна
Преподаватель
ГБОУ СПО «Самарский
Машиностроительный колледж»
Самара, 2015
Практическое занятие
Решение дифференциальных уравнений первого порядка
Цель занятия
Выработать умение решать дифференциальные уравнения первого порядка
Разделы, темы рабочей программы, которые необходимо знать при выполнении и сдаче практическогозанятия
Раздел 1 Математический анализ
Тема 1.2 Обыкновенные дифференциальные уравнения
Краткие теоретические сведения
Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее между собой независимую переменную х, искомую функцию y и ее производные или дифференциалы функции и аргумента.
В дифференциальных уравнениях всегда присутствуют производные или дифференциалы функции и аргумента. Наличие самой функции и аргумента в дифференциальных уравнениях не является обязательным.
Решение дифференциального уравнения называется такая функция, которая обращает это уравнение в тождество.
Наивысший порядок производной (иди дифференциала), входящей в уравнение, называется ПОРЯДКОМ дифференциального уравнения.
Общим решение дифференциального уравнения называется такое уравнение, в которое входит столько независимых произвольных постоянных, каков порядок уравнения.
Частным решением дифференциального уравнения называется решение, полученное из общего при различных числовых значениях произвольных постоянных.
Задача отыскания конкретного частного решения данного дифференциального уравнения по начальным данным называется ЗАДАЧЕЙ КОШИ.
Дифференциальным уравнение первого порядка называется уравнение, в которое входит производные (или дифференциальным) не выше первого порядка.
Простейшим дифференциальным уравнением первого порядка является уравнение вида y´=f(x).
Такое уравнение решается непосредственным интегрированием:
Дифференциальным уравнением первого порядка с разделяющимися переменными
называется уравнение вида f(x)F(y)dx+φ(x)Ф(y)dy=0, где f(x)F(y)φ(x)Ф(y)-заданные функции.
Для решения этого уравнения нужно сначала разделить переменные. Для этого разделим все его члены на произведение F(y)*φ(x).
Получим:
Решение полученного уравнения выполняется непосредственным интегрированием.
Алгоритм решения дифференциального уравнения первого порядка с разделяющимися переменными.
· Производную функции переписать через её дифференциалы.
· Члены с одинаковыми дифференциалами перенести в одну сторону равенства и вынести дифференциал за скобку.
· Разделить переменные.
· Проинтегрировать обе части равенства, найти общее решение.
· Если заданы начальные условия,найти частное решение.
Алгоритм решения линейного дифференциального уравнения первого порядка.
· Определить вид линейного дифференциального уравнения первого порядка:
а) 
б) 
· В зависимости от вида уравнения выбрать алгоритм:
а)
· Ввести подстановку y=uv;
· 
Данное уравнение примет вид
· Сгруппировать члены уравнения так, чтобы u вынести за скобку:
из скобки, приравняв её к нулю, найти функцию v=v(x).
· Подставить v в уравнение
v 
=q(x).
Найти функцию
u=u(x,C).
· Получить общее решение уравнения:b/r
y=v(x) u(x;C).
б)
· Определить значения r и b и записать общее решение в виде
Задания
4.1 Изучить методические указания к выполнению практическогозанятия
4.2Выполнить индивидуальное задание
4.3 Оформить отчет по практическомузанятию
Структура отчета
5.1 Номер и наименование практическогозанятия
5.2 Цель занятия
5.3 Задание
5.4 Выполнение задания