Задания для самостоятельного выполнения.

Содержание работы

Матрицы. Основные понятия.

Матрицей называется прямоугольная таблица чисел.

Пример 1. , , , .

В общем случае матрица может содержать строк и столбцов

Числа называются элементами матрицы, где - указывает номер строки, - указывает номер столбца.

Элементы образуют главную диагональ матрицы.
Если число строк равно числу столбцов, то матрица называется квадратной. Квадратная матрица размеров называется матрицей – го порядка.

Квадратная матрица, у которой все элементы, кроме главной диагонали равны 0, называется диагональной.

Пример 2. .

Если все элементы матрицы равны нулю, то матрица называется нулевой.

Пример 3. .

Диагональная матрица, у которой каждый элемент диагонали равен 1, называется единичной.

Пример 4. , .

Квадратная матрица называется треугольной, если все элементы, расположенные по одну сторону от диагонали, равны нулю.

Пример 5. , .

Матрица, содержащая одну строку (столбец), называется вектором (вектор-строкой, вектор-столбцом).

Пример 6. , .

Матрица, полученная из данной заменой каждой ее строки столбцом с тем же номером, называется транспонированной .

Пример 7. ;

Очевидно, что .

Действия над матрицами.

Матрицы одинаковых размерностей можно складывать и вычитать. Если

, , то , причем

, для всех .

Пример 8. ,

Умножение матрицы на число.

Чтобы умножить матрицу на число, необходимо каждый ее элемент умножить на это число.

Пример 9. Пусть , тогда .
Матрица называется противоположной к матрице .

Умножение матриц.

Умножение матриц можно только в том случае, когда число столбцов матрицы равно числу строк матрицы В этом случае справедливо соотношение , причем элементы матрицы равны , , .Другими словами строки матрицы умножаются на столбцы матрицы

Пример 10. Пусть , . Тогда

Видим, что в общем случае . Если же выполняется условие , то матрицы и называются перестановочными друг с другом.

Определители.

Определителем называется квадратная числовая таблица, вычисляемая по определенным правилам.

Если , то . Так .

Если , то .

Так .

Если , то

. Так

При вычислении определителей 3-го порядка удобно пользоваться правилом треугольников. С плюсом берутся произведения элементов стоящих на главной диагонали и элементы, стоящие в вершинах следующих треугольников.

С минусом берутся произведения элементов, стоящих на второй диагонали и в вершинах следующих треугольников.

Второй метод заключается в том, что рядом с определителем справа записываются первый и второй столбцы и тогда с плюсом берутся произведения элементов, стоящих на главной диагонали и двух ей параллельных, с минусом – произведения элементов, стоящих на второй диагонали и двух ей параллельных.