Если в наклонной призме боковое ребро 
образует одинаковые углы со сторонами основания, которые выходят из вершины 
, то основание О высоты 
лежит на биссектрисе угла (рис. 7).
Доказательство: 
|
Проведем 
и отрезки 
Согласно теореме о трех перпендикулярах, имеем 
и 
. Прямоугольные треугольники 
и 
равны, поскольку имеют общую гипотенузу 
и одинаковые углы (
по условию). Следовательно, 
и 
, отсюда 
Таким образом, точка О равноудалена от сторон угла и, следовательно, лежит на биссектрисе 
угла . [3, 24]
Задачи
1. Ребро куба равно а.
Найдите:
Диагональ грани: d= a√2.
Диагональ куба: D= a√3.
Периметр основания: P= 4a.
2. Основанием прямой призмы является равнобедренный треугольник, в котором высота проведенная к основанию равняется 8см. Высота призмы равняется 12см. Найдите полною поверхность призмы если боковая грань что содержит основание треугольника - квадрат.
Решение
Площадь поверхности призмы будет равна сумме площадей оснований и сумме площадей боковых поверхностей, то есть 
, где 
- площадь основания призмы, 
- площадь боковой поверхности, содержащей основание, 
- площадь боковой поверхности, содержащей стороны равнобедренного треугольника. (Они равны, так как стороны основания равны в следствие того, что треугольник равнобедренный, а вторые стороны равны высоте призмы)
Поскольку боковая грань, содержащая основание треугольника, является квадратом, то основание треугольника также равно 12 см. (основание треугольника одновременно является стороной грани).
Таким образом, зная высоту и основание равнобедренного треугольника можно найти его остальные стороны и площадь:
Катеты, соответственно равны (у нас высота, являющаяся в равнобедренном треугольнике одновременно и медианой 
, с каждым из катетов образует прямоугольный треугольник) по теореме Пифагора:
Таким образом:
, 
3. В правильной четырёхугольной призме площадь основания 144 
, а высота 14 см. Найти диагональ призмы.
Решение
Правильный четырехугольник – это квадрат.
Соответственно, сторона основания будет равна 
Откуда диагональ основания правильной прямоугольной призмы будет равна 
Диагональ правильной призмы образует с диагональю основания и высотой призмы прямоугольный треугольник. Соответственно, по теореме Пифагора диагональ заданной правильной четырехугольной призмы будет равна: 
Ответ: 22 см
4. Рассмотрим правильную четырехугольную призму 
, диагональное сечение которой – квадрат. Через вершину 
и середины ребер АВ и ВС проведена плоскость. Найти площадь полученного сечения, если 
Решение
Построение сечения видно на рисунке, где К и L – середины сторон АВ и ВС основания призмы, Е и F – точки пересечения прямой КL соответственно с продолжениями сторон DA и DC. Сечением является пятиугольник 
площадь которого можно найти. Можносначала вычислить площади треугольников 
и 
а потом от площади первого треугольника вычесть удвоенную площадь второго (поскольку треугольники 
и 
равны). Однако в данном случае проще воспользоваться формулой:
Проекция пятиугольника 
на плоскость основания призмы есть пятиугольник 
, площадь которого найдем, вычитая из площади квадрата 
площадь треугольника ВКL:
Пусть диагональ ВD основания пересекает отрезок КL в точке О. Так как 
и 
(согласно теореме о трех перпендикулярах), то 
– линейный угол двугранного угла КL.
Далее находим:
Из прямоугольного треугольника 
по теореме Пифагора имеем:
Значит, 
и 
5. Дана правильная призма: 
, 
. Найти высоту призмы.
Решение
Площадь основания 
АВ= 2 см.
Периметр основания Р = 8 см.
Высота призмы 
6. Основанием параллелепипеда служит квадрат. Одна из вершин верхнего основания равноудалена от всех вершин нижнего основания и находится на расстоянии b от этого основания. Сторона основания равна a. Найдите полную поверхность параллелепипеда.
Решение
Пусть 
– данный параллелепипед с основаниями 
, 
и боковыми рёбрами 
, причём ABCD – квадрат со стороной a, вершина 
равноудалена от вершин A, B, C и D, а расстояние от вершины до плоскости основания ABCD равно b. Поскольку точка равноудалена от вершин квадрата ABCD, она лежит на перпендикуляре к плоскости ABCD, проходящем через центр O квадрата. Перпендикуляр, опущенный из точки O на сторону BC, проходит через её середину M. По теореме о трёх перпендикулярах 
, поэтому 
– высота грани 
. Из прямоугольного треугольника 
находим, что
.
Значит,
Аналогично,
Если S – полная поверхность параллелепипеда 
, то
.
7. Докажите, что если сечение параллелепипеда плоскостью является многоугольником с числом сторон, большим трёх, то у этого многоугольника есть параллельные стороны.
Доказательство
У параллелепипеда 3 пары параллельных граней. Если плоскость пересекает более трёх граней, то по крайней мере две стороны многоугольника сечения лежат в противоположных гранях параллелепипеда. По теореме о пересечении двух параллельных плоскостей третьей эти две стороны параллельны.
8. В параллелепипеде 
грань ABCD – квадрат со стороной 5, ребро 
также равно 5, и это ребро образует с рёбрами AB и AD углы 
. Найдите диагональ 
.
Решение
Треугольник 
– равносторонний, т.к. = AB и 
. Поэтому 
. Аналогично, 
. Боковые рёбра 
треугольной пирамиды 
с вершиной 
равны между собой, значит, высота 
этой пирамиды проходит через центр окружности, описанной около основания ABD, а т.к. треугольник ABD прямоугольный, то точка O – середина его гипотенузы BD, т.е. центр квадрата ABCD. Из прямоугольного треугольника 
находим, что
Поскольку 
, точка 
равноудалена от вершин C и D, поэтому её ортогональная проекция K на плоскость основания ABCD также равноудалена от C и D, а значит, лежит на серединном перпендикуляре к отрезку CD. Поскольку 
|| и = , четырёхугольник 
– прямоугольник, поэтому OK= 
=5. Продолжим отрезок KO до пересечения с отрезком AB в точке M. Тогда M – середина AB и MK=MO+OK= 
. Из прямоугольных треугольников MKB и 
находим, что:
9. На ребре AD и диагонали 
параллелепипеда 
взяты соответственно точки M и N, причём прямая MN параллельна плоскости 
и AM:AD = 1:5. Найдите отношение 
.
Решение
Пусть P – центр параллелограмма ABCD. Плоскости и 
пересекаются по прямой 
, поэтому прямые и пересекаются в некоторой точке Q, причём
По теореме о пересечении двух параллельных плоскостей третьей плоскости α и 
пересекаются по прямой, проходящей через точку E параллельно . Ясно, что точка пересечения этой прямой с прямой и есть точка N (прямая MN лежит в плоскости, параллельной плоскости 
). Рассмотрим параллелограмм . Так как
то 
10. Три отрезка, не лежащие в одной плоскости, имеют общую точку и делятся этой точкой пополам. Докажите, что концы этих отрезков служат вершинами параллелепипеда.
Решение
Пусть O – общая середина отрезков 
, 
и 
. Тогда AB|| 
и AD|| 
. Значит, плоскости ABD и 
параллельны. Аналогично, плоскость 
параллельна плоскости 
. В плоскостях ABD и возьмём соответственно точки C и 
так, что ABCD и 
– параллелограммы. Так как CD||AB, AB|| и 
|| 
, то CD|| . Поэтому плоскости 
и 
также параллельны. Шестигранник 
, образован пересечением трёх пар параллельных плоскостей. Следовательно, это параллелепипед.
Тесты
1. Найдите длину диагонали прямоугольного параллелепипеда, измерения которого равны 2 см, 3 см и 4 см.
Варианты ответов:
| А | Б | В | Г | Д |
 см
| 9 см |  см
| 24 см |  см
|
Решение
Длина диагонали параллелепипеда равна корню из суммы квадратов его измерений и составит 
2. Сосчитайте сколько у прямоугольного параллелепипеда рёбер
Варианты ответов:
| А | Б | В | Г | Д |
3. Многогранник, составленный из двух равных многоугольников 
и 
, расположенных в параллельных плоскостях, и n параллелограммов 
…, 
, называется:
А) параллелепипед;
Б) призма;
В) пирамида;
Г) многогранник;
Д) конус.
4. Перпендикуляр, проведенный из какой-нибудь точки одного основания к плоскости другого основания, называется…
А) высотой призмы;
Б) ребром призмы;
В) медианой призмы;
Г) диагональю призмы;
Д) стороной призмы.
5. Прямая призма называется правильной, если ее основания…
А) равнобедренные треугольники;
Б) не правильные многоугольники;
В) параллелограммы;
Г) окружности;
Д) правильные многоугольники.
6. У параллелепипеда все грани...
А) параллелограммы;
Б) треугольники;
В) трапеции;
Г) шестиугольники;
Д) квадраты.
7. В прямоугольном параллелепипеде все ли диагонали равны?
А) нет;
Б) да.
8. У параллелепипеда противолежащие грани равны и …
А) параллельны;
Б) лежат в одной плоскости;
В) перпендикулярны;
Г) лежат в разных плоскостях;
Д) образуют между собой угол 
9. У параллелепипеда все четыре диагонали пересекаются в одной точке и делятся в ней …
А) в отношении 1:2;
Б) в отношении 1:3;
В) пополам;
Г) в отношении 1:5;
10. Чему равен квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда?
А) сумме квадратов трех его измерений;
Б) сумме ребер;
В) сумме трех его измерений;
Г) сумме квадратов ребер;
Д) корню из суммы трех его измерений.
Глоссарий
Ø Многогранник, составленный из двух равных многоугольников и , расположенных в параллельных плоскостях, и n параллелограммов 
…, , называется призмой.
Ø Многоугольники 
и 
называются основаниями, а параллелограммы 
…, 
– боковыми гранями.
Ø Призму с основаниями и называют n – угольной призмой.
Ø Перпендикуляр, проведенный из какой-нибудь точки одного основания к плоскости другого основания, называется высотой призмы.
Если боковые ребра призмы перпендикулярны к основаниям, то призма называется прямой, в противном случае – наклонной. Высота прямой призмы равна ее боковому ребру.
Ø Прямая призма называется правильной, если ее основания – правильные многоугольники.
Если основание призмы есть параллелограмм, то она называется параллелепипедом. У параллелепипеда все грани – параллелограммы.
Ø Грани параллелепипеда, не имеющие общих вершин, называются противолежащими.
Ø Параллелепипед, боковые ребра которого перпендикулярны к плоскости основания, называется прямым параллелепипедом.
Ø У параллелепипеда все боковые грани прямоугольники, а основания параллелограммы. Если все грани параллелепипеда – прямоугольники, то его называют прямоугольным параллелепипедом.
Ø Длины трех его ребер, которые выходят из одной вершины, называются измерениями прямоугольного параллелепипеда.
Ø Прямоугольный параллелепипед, все три измерения которого равны, называется кубом.
Литература
1. Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б. и др. Учеб. для 10 – 11 кл. сред. шк. – М.: Просвещение, 1992 – 207с.
2. Геометрія: Підруч. для учнів 10 – 11 кл. з поглибл. вивч. математики в серед. загально-освіт. закладах /Г. П. Бевз, В. Г. Бевз, В. М. Владіміров, Н. Г. Владімірова. – 2-ге вид. – К.: Освіта, 2003. – 239 с.
3. Лосєва Н. М. Геометричні тіла: Навчальний посібник. – Донецьк: ДонНУ, 2006. – 240 с.
4. Погорелов А. В. Геометрия: Учеб. для 7 – 11 кл. общеобразоват. учреждений. – 5-е изд. – М.: Просвещение, 1995. – 383 с.