1.Рассмотрим уравнение, у которого одна переменная находится в четвертой степени, т.е. дано уравнение вида
(13)
Для решения такого уравнения, выразим 
через 
, получим,
(14)
Решая это уравнение по следующим формулам, имеем
и 
(15)
Пример. Решить уравнение. 
Выразим через , получим 
, решая это уравнение по формулам (19) получим
Отсюда получаем множество корней (решений) 
Ответ: 
2. Рассмотрим уравнение, у которого одна степень находится в пятой степени, т.е. имеется уравнение вида
(16)
Для решения такого уравнения выберем переменную, у которой степень самая меньшая, по сравнению с другими степенями, это будет переменная 
, вынося ее за скобку получим
(17)
Отсюда 
, т.е. мы получили некоторое множество нулей. Уравнение 
, решается через дискриминант.
Пример. Решить уравнение 
Вынесем за скобку, получим 
, отсюда 
, который имеет множество корней (0; 0; 0). Далее, решая уравнение 
получим 
и 
. Таким образом, получили множество решений (0; 0; 0; -2; 
).
Системы уравнений.
Пусть дана система уравнений
(18)
где 
- коэффициенты при неизвестных 
и 
, 
и 
- свободные члены.
Система (18) решается тремя способами 1) Графический способ; 2) Способ подстановки; 3) Способ сложения. Первый способ рассматривать не будем. Остальные способы рассмотрим при решении следующих систем уравнений.
1) Способ подстановки.
Возьмем первое уравнение системы 
и из этого уравнения выразим через , получим
Подставив это выражение во второе уравнение системы, получим
Отсюда,
Запишем последнее уравнение и решим его
Подставив теперь найденное значение в выражение, стоящее выше, получим
Ответ: 
и 
2) Способ сложения.
Умножим первое и второе уравнения система на 2, получим
Затем, сложив почленно уравнения системы, получим 
. Найдем значения игрека, для этого найденное значение икса подставим в любое уравнение исходной (первоначальной) системы, получим
3) Способ сложения.
Запишем систему
Умножим первое уравнение на 2, а второе на 2, получим:
Сложим 6x и 8x, получим 14x и 12+6=18, отсюда 
. Подставив теперь значение x в любое уравнение системы, получим
Ответ: 
Система трех уравнений с тремя переменными.
(19)
где 
- коэффициенты при неизвестных 
, 
- свободные члены.
Для решения системы (19) составим определитель
(20)
Первое число у индекса указывает число (номер) строки, второе число – номер столбца. Сам определитель обозначается буквой d.
Для вычисления определителя пользуются правилом Крамера, т.е.
d= = 
Корни системы (24) находятся по формулам
Где 
- числа, которые следует определить по следующему правилу
Таким же методом определяются остальные определители
Глава 2. График функции
1. График функции.
Функция 
называется линейной функцией. Для нахождения точек пересечения графика функции нужно решить два уравнения:
Пример. Функция задана уравнением 
, найти точки пересечения с осями координат.
Решим два уравнения 
Ответ: точки x =-2 и y = 4 являются точками пересечения с осями координат.
2. Квадратичная функция.
Функция вида 
называется квадратичной. Для нахождения точек пересечения графика с осями координат, нужно решить квадратное уравнение 
Глава 3 Пределы
1. Предел функции
Пример. Найти предел функции
Поскольку икс стремится к двум, т.е. 
, то в числителе и знаменателе заменяем все иксы на 2, таким образом, получаем
Ответ: 
Рассмотрим случай, когда икс стремится к бесконечности. Пусть 
Разделим числитель и знаменатель на высокую степень аргумента 
, получим
Ответ: 
Пусть 
, разделим числитель и знаменатель на 
, получим
Ответ: 4
Найти предел 
Отсюда 
Ответ: 5
Глава 4 Производные
1. Обыкновенные производные
Пусть дана функция 
, требуется найти производную. Согласно выражению 
, получим 
.
Пример: Найти производную функции
Отсюда
Ответ: 
2. Производная функции одной переменной.
Функция одной переменной имеет вид 
, соответственно функция постоянно изменяется со скоростью, каждой границей изменения этой функции есть предел, который можно записать в виде
(21)
Функция 
называется дифференцируемой в точке x если предел (21)
существует.
3. Производные вида 
В курсе дифференциальных уравнений часто можно видеть выражение 
.
Речь идет о частной производной, в этом выражении переменная x дифференцируется по переменной y. Рассмотрим выражение вида 
, в таком случае переменную x дифференцируют два раза по переменной y.
Пример. Найти производную , если 
Ответ: 