Лекция 10. Квадратурный зеркальный фильтр
Проектирование FIR фильтра на основе аппроксимации
Рассмотрим симметрический фильтр с передаточной функцией
. (1)
Пусть задана вещественная передаточная функция 
. Положим 
. В результате замены имеем взаимно однозначное соответствие между точками интервалов 
и 
. Функции. 
, преобразуются в функции 
соответственно. Известно, что существует разложение 
. В результате получаем задачу аппроксимации вещественной функции 
с помощью многочлена 
степени не выше, чем 
. Построив многочлен, можем вернуться к представлению (1) заменой переменных и разложением в ряд Фурье.
Аппроксимацию указанного вида используют в случае, когда критерием является не средне квадратическое отклонение, а критерий типа 
. В этом случае применяется теория аналогичная теории многочленов Чебышева с наименьшими отклонениями. Задача решается приближенно. После того, как многочлен найден, возвращаемся к представлению (1).
Квадратурный зеркальный фильтр
Если спектр сигнала находится в интервале 
, то при переходе к дискретному сигналу частота выборки должна удовлетворять неравенству 
. Следующая схема позволяет снизить частоту выборки при передаче по каналу связи, заменив один канал парой каналов с меньшей пропускной способностью.
Пусть имеются сигнал 
и его преобразование Фурье 
. Положим 
. Его преобразование Фурье 
, или в форме z-преобразования 
. Рассмотрим следующую схему, изображенную на рисунке. Входной сигнал подается на два фильтра. Стрелки вниз означают выбрасывание сигнала с нечетными номерами, а стрелки вверх - включение нулевого сигнала между двумя приинятыми. После этого полученные сигналы фильтруются двумя фильтрами и складываются.
Передаточные функции фильтров будем обозначать теми же буквами, что и сами фильтры. Рассмотрим результат работы данной схемы. Обозначим через 
выходной сигнал, а через 
- его z-преобразование. В терминах z- преобразований сигнал по верхней линии после прохода через первый фильтр превращается в 
, затем после прохода по каналу и вставки нулей на сумматор подается сигнал 
. Аналогично, рассматривая прохождение сигнала по нижней линии и суммируя результаты, получим 
Пока мы не накладывали условий на фильтры. Теперь выберем их таким образом, чтобы второе слагаемое обратилось в 0. Для этого положим 
, 
. Этих условий достаточно, чтобы второе слагаемое стало нулевым. Теперь 
. Поставим задачу: выбрать 
таким образом, чтобы выражение в квадратных скобках было как можно более близким к единичной функции. Обычно этого не удается достичь, вместо этого довольствуются аппроксимацией. Однако, если полученный сигнал отфильтровать специально подобранным фильтром, то в результате получим первоначальный сигнал. В качестве примера рассмотрим 
. Тогда 
. Поставим на выходе системы еще один фильтр, определяемый формулой 
. Его передаточная функция имеет вид 
. В результате вся система имеет передаточную функцию равную 
, что равносильно сдвигу сигнала.
Задача. Применить тот же подход к случаю 
Замечание. Указанный подход оказывается полезным в качестве альтернативного подхода к сжатию сигнала, когда используется результат передачи только по одной линии.
Рекомендуемая литература:
1. Глинченко, А. С. Цифровая обработка сигналов: курс лекций. – Красноярск: СФУ, 2008.
2. Глинченко, А. С. Цифровая обработка сигналов: уч. пособие. – 2-е изд., перераб. и доп. – Красноярск: ИПЦ КГТУ, 2005. – 482 с.
3. Глинченко, А. С. Лабораторный практикум по цифровой обработке сигналов: учеб. пособие. – Красноярск: СФУ, 2008.
6. Глинченко, А. С., Голенок А. И. Принципы организации и программирования сигнальных процессоров семейства ADSP-21XX: учеб.-метод. пособие. – Красноярск: ИПЦ КГТУ, 2000. – 88 с.
7. Сергиенко А. Б. Цифровая обработка сигналов: учеб. пособие. – 2-е изд. – СПб.: Питер, 2006. – 751 с.
8. Основы цифровой обработки сигналов: Курс лекций /
А. И. Солонина, Д. А. Улахович., С. М. Арбузов, Е. Б. Соловьева. – СПб.: БХВ-Петербург, 2005. – 768с.