Проверка свойства ДПФ циклической свертки сигналов




Свойство 1. Линейность

Спектр суммы сигналов равен сумме спектров этих сигналов. Если то спектр равен:

 

где и - спектры сигналов и соответственно.

При умножении сигнала на константу спектр сигнала также умножается на константу:

  Свойство 2. Временной сдвиг Пусть сигнал имеет спектр . Если сдвинуть сигнал циклически на отсчетов, т.е. , то спектр сдвинутого сигнала равен:
(1)

Введем замену переменной , тогда и выражение (1) можно переписать:

(2)

Таким образом циклический сдвиг сигнала на приводит к повороту фазового спектра, а амплитудный спектр не меняется.Необходимо сделать замечание. Выражение (2) справедливо только для циклического сдвига.

 

Свойство 3. ДПФ циклической свертки сигналов

Пусть сигнал есть результат циклической свертки сигналов и :

 

Рассчитаем спектр сигнала :

 

Поменяем местами операции суммирования:

(3)

При выводе выражения (3) было использовано свойство временного сдвига. Таким образом можно сделать вывод о том, что спектр циклической свертки двух сигналов равен произведению спектров этих сигналов. Это свойство позволяет использовать быстрые алгоритмы ДПФ для вычисления свертки.

 

Свойство 4. Спектр произведения двух сигналов

Пусть сигнал равен произведению сигналов и , причем и - спектры сигналов и соответственно.

(4)

Подставим в выражение (4) выражения для сигнала в виде ОДПФ от спектра :

(5)

Поменяем местами операции суммирования в выражении (5) и получим:

(6)

Таким образом, спектр произведения сигналов представляет собой циклическую свертку спектров этих сигналов.

 

 

 

Выполнение работы:

Проверка свойства линейности ДПФ

а) Сгенерируем два дискретных сигнала s1 и s2 состоящих из 5 отсчетов, каждый отсчет при этом возьмем как случайную величину в диапазоне [0,1].

Для этого выполним команды:

>> s1= rand(1,5)

>> s2= rand(1,5)

Запишем отсчеты этих сигналов.

б) Рассчитаем комплексные спектры sp1 и sp2 сигналов:

>> sp1=fft(s1)

>> sp2=fft(s2)

Запишем отсчеты этих спектров.

в) Найдем сумму этих спектров:

>>sp=sp1+sp2

Запишем отсчеты.

г) Найдем спектр суммы сигналов:

>>ssp=fft(s1+s2)

Запишем полученные отсчеты.

Полученные отсчеты сравним с sp. Для простоты сравнения найдем модуль разложения двух спектров:

>>abs(sp-ssp)

В результате получены нулевые отсчеты, следовательно, свойство линейности выполняется.

Проверка свойства временного сдвига ДПФ

а) Сгенерируем дискретный сигнал s1 состоящий из 5 отсчетов, каждый отсчет при этом возьмем как случайную величину в диапазоне [0,1].

Для этого выполним команду:

>> s1= rand(1,5)

б) Задержим циклически данный сигнал на 1 такт, получим задержанный сигнал ss1:

>> ss1(2:5)=s1(1:4)

>> ss1(1)=s1(5)

Запишем отсчеты этих сигналов.

в) Рассчитаем комплексные спектры sp1 и sp2 сигналов:

>> sp1=fft(s1)

>> ssp1=fft(ss1)

Запишем отсчеты этих спектров.

г) Найдем разницу амплитудных спектров, полученных комплексных спектров:

>>abs(sp1)-abs(ssp1)

Запишем отсчеты.

д) Найдем разницу фазных спектров, полученных комплексных спектров: >>angle(sp1)-angle(ssp1)

Запишем отсчеты.

 

Проверка свойства ДПФ циклической свертки сигналов

а) Сгенерируем два дискретных сигнала s1 и s2 состоящих из 5 отсчетов, каждый отсчет при этом возьмем как случайную величину в диапазоне [0,1].

Для этого выполним команды:

>> s1= rand(1,5)

>> s2= rand(1,5)

Запишем отсчеты этих сигналов.

б) Рассчитаем комплексные спектры sp1 и sp2 сигналов:

>> sp1=fft(s1)

>> sp2=fft(s2)

Запишем отсчеты этих спектров.

в) Найдем поэлементное произведение спектров:

>>sp=sp1.*sp2

Запишем отсчеты спектра.

г) Найдем циклическую свертку сигналов:

>> c=cconv(s1,s2,5)

Запишем отсчеты.

д) Рассчитаем комплексный спектр свертки сигналов:

>>sс=fft(с)

Запишем отсчеты спектра.

е) Найдем модуль разницы произведения спектров и спектра свертки сигналов:

>>abs(sp-sc)

Спектры совпадают(т.к.модули разницы произведения спектров и спектра свертки сигналов ≈0),следовательно,свойство циклической свертки сигналов выполняется.



Поделиться:




Поиск по сайту

©2015-2024 poisk-ru.ru
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.
Дата создания страницы: 2018-01-08 Нарушение авторских прав и Нарушение персональных данных


Поиск по сайту:

Обратная связь