ПРИЛОЖЕНИЕ к статье
Вычисление интеграла, используемого в статье А. Рождественского «Астрономические колебания солнечной радиации как усилитель зонального охлаждения или разогрева климата».
В приложении нумерация формул начинается с начала.
Интеграл (7) можно найти в общем виде, если задающие вынужденные колебания радиации на верхней границе атмосферы принять как гармонические колебания, а вынужденные колебания радиации в приземном слое представить как следствие, т.е колебания ч теми же частотами, но разными амплитудами и фазами. В этом случае постановка задачи о расчете интеграла вида (5) и ее решение в общем виде выглядит следующим образом:
G = 
= 
{ Cos [ ω(τa –τb)] –
- 2 
*
*(ArcTan[ 
] -
- ArcTan[ 
]*
* 
*Log{ 
}; (**)
При (
<< (
), a < A, b < B точный интеграл G (**) с большой точностью сводится к приближенному интегралу (5) в тексте статьи.
Точное значение интеграла вида (7) при гармонических колебаний температур, аналогичного интегралу (**), имеется. Однако это выражение громоздко (занимает объем, почти сравнимый с объемом статьи) и не удобно для изучения.
Поэтому вначале получим упрощенное приближенное значение этого интеграла, а затем вычисли его для гармонических колебаний.
Расчет интеграла вида (7) ( нумерация по основному тексту статьи)
Обозначим функцию (Ф) следующим образом (см. выражение (9) для краткости введем новую нумерацию с начала:
Ф = 
)* (1 + 
+ 
) =
{(
)+ 
+ 
)+ 
+ 
() + 
()} (1)
При этом положим как в статье (9) см. выше:
<Т> = A 
(2)
= { 
+τ 
+ 
()dt + 
+τ 
dt +τ 
+
+ τ 
= 
{ + 
+τ +τ }; (3)
Далее приложение посвящено расчету интеграла аида (3)
Оценку последним четырем интегралам для в (3) сделаем для гармонических колебаний 
= a*sin(ωt);
=b*sin(ω(t+ 
) = =b*[ sin(ωt)*cos(ωτ) +cos(ωt)*sin(ωτ)].
1. 
= а*b [cos(ωτ) 
+sin(ωτ) 
=
=a*b*Cos(ωτb)* 
(4)
2. Заметим, что 
= xcos(x) +sin(x) + C. 
+C. Отсюда
= 
= 
[ 
+sin(ωt)] 
-0 
=
= a*α 
(5)
3. = 
= [(
) 
-0 - 
≡ 0 (6)
4. 
= 
*[ sin(ωt)*cos(ωτ) +cos(ωt)*sin(ωτb)]dt =
=sin(ωtb)* 
*π* 
(7)
В итоге получаем с учетом (3-7):
= 
{ 
a*b*Cos(ωτb)* + * a* α 
+ sin(ωtb)* 
*π* 
} (8)
Далее рассмотрим интеграл 
и отдельные интегралы после раскрытия скобок:
Ф* 
= 
{ {( 
)+ 
+ 
)+ 
+ () 
+ () 
} (9)
1. 
= 
(10)
2. 
= 
-0 = 
(11)
2. 
= 
= a 
= 
-
- 
= 
+ 
{2ωt*sin(2ωt) +cos(2ωt)} -0 =
= 
; (12)
3. 
= 
b*a 
(sin(ωt)) 
* [sin(ωt)*cos(ωτ) +cos(ωt)*sin(ωτb)]dt =
b*a 
(
[sin(ωt)*cos(ωτ) +cos(ωt)*sin(ωτb)]dt (13)
Причято во внимание, что:
Cos(2ωt)cos(ωt) = 
{ cos(ωt)+ cos(3ωt) }
Cos(2ωt)Sin(ωt)= { sin(3ωt) –sin(ωt) }
≡ 0; (14)
4. ( 
)dt = 
-0 = 
; (15)
5. () dt = 
= { 
-0 - (
)dt}
= 
*t -0 = 
- 
=0
() dt ≡ 0; ( 16 )
6. () 
dt =
= 
{ωCos(ωt)*Sin(ωt)*[ [sin(ωt)*cos(ωτ) +cos(ωt)*sin(ωτb)]dt
Sin (ω) 
Cos(ωt),= 
(Sin(3ωt) +sin(ωt)) ≡ o
Cos(ωt) 
sin(ωt) =sin(ωt) –Sin(ωt) 
= sin(ωt) –{ 
{ωCos(ωt)*Sin(ωt)*[ [sin(ωt)*cos(ωτ) +cos(ωt)*sin(ωτb)]dt ≡ 0
() dt = 0; (17)
Собираем сумму интегралов. (9-17):
Фdt = = 
{ a*b*Cos(ωτb)* +a* α 
+ 
sin(ωtb)* 
*π}
Ф* 
dt = 
{ 
+ 
+ 
} (18)
<Т> = A = A (1 + 
- 
) (19)
Δ = - 
= 
{(β 
abCos Cos(ωτb)* - 
)+ (a* α 
-
- 
)+ (sin(ωtb) 
*π* - 
) }; (20)
Положим τb <<π, b ≈a/2, климатический квазилинейные тренд повышения температур (антропогенный) α << 1. В этом случае почленное сравнение величин в скобках дает знак величины (Δ)
(a*b*Cos(ωτb)* - ) ≈ (β 
- 
) = 
- 
) (21)
(a* α 
- α* 
) = 
(
- 
) (22)
(sin(ωtb) 
τ*π* - ) = 
- 
) (23)
Отметим, что выражениях (1-3) в скобках стоят безразмерные величины, где (а) –амплитуда сезонных колебаний радиации (неравномерная по земному шару). Величина (а) есть амплитуда колебаний радиации (сезонной), по размерности одинакова с постоянной радиацией 
. Отношение равно нулю в обширных экваториальных площадях Земли, и достигает максимума в средних широтах северного полушария ≈0,5. Безразмерный интегральный коэффициент доли поглощения длинноволновой радиации в атмосфере (поглощательная способность принимается равной излучательной способности) принят в размере 
≈ 0,5, коэффициент безразмерной сезонной амплитуды этого коэффициента b ≈ 0,3.
Таким образом, величина (Δ) в (20) равна:
(Δ) = 
{ - ) + ( - ) + - )}
Отсюда:
<Т> = A = A 
= A/λ(1 –Δ/ 
) =
= A/λ{1 + 
{ 
- ) + 
( - ) + 
- ) } (24)
Выражение (24) далее анализируется и обсуждается в основном тексте статьи и помещено там помещено под номером (10).