Тема 7
Расчет прочности и жесткости простой балки
Лекция №13
Перемещения при изгибе
13.1 Характерные перемещения при изгибе.
13.2 Дифференциальное уравнение и система дифференциальных уравнений для функций перемещений и усилий.
13.3 Интегрирование дифференциального уравнения линии прогибов и определение произвольных постоянных.
13.4 Использование локальной системы координат при наличии нескольких участков интегрирования.
Характерные перемещения при изгибе.
Рассмотрим изгиб стержня в главной плоскости 
(рис. 13.1,а). Как показывает опыт, реальные стержни, работающие в составе строительных конструкций, испытывают очень малые искривления. (
). Основной вклад в создание этих деформаций вносят изгибающие моменты, вызывающие искривление каждого элемента балки длиной 
на угол 
(рис 13.1,б). Поперечные силы 
создают у элементов деформации сдвига, которыми во многих случаях пренебрегают.
Рис.13.1 Перемещения при малых прогибах
Будем считать искривления малыми и учитывать лишь влияние изгибающих моментов. В этом случае неизвестной функцией, определяющей положение сечений балки в деформированном состоянии, является функция прогибов 
.
Прогиб 
- это перемещение центра тяжести сечения в направлении главной оси инерции сечения (на рис 13.1,а это ось у). Ось балки искривляется по кривой с уравнением 
, которую называют упругой линией или линией прогибов балки.
Кроме прогиба характерным перемещением произвольного поперечного сечения является его угол поворота 
относительно оси 
.
Согласно гипотезе плоских сечений, каждое сечение при изгибе остается нормальным к оси изогнутого стержня, т.е. угол наклона касательной равен углу поворота сечения 
.
Из аналитической геометрии известно, что тангенс угла наклона касательной к кривой равен первой производной от уравнения этой кривой.
|
|  
| (13.1) |
Таким образом, из двух независимых функций и 
основной является функция прогибов. Углы поворота получаются дифференцированием функции прогибов.
Дифференциальное уравнение и система дифференциальных уравнений для функций перемещений и усилий.
При выводе трехчленной формулы для нормальных напряжений было получено соотношение 
(см. (9.14)), связывающие изгибающий момент 
и создаваемый им угол искривления элемента стержня 
(взаимный угол поворота торцов элемента 
– кривизна оси элемента).
Опуская индекс z в обозначениях с учетом (13.1) получим систему двух дифференциальных уравнений первого порядка
 ,
 .
| (13.2) |
Интегрирование системы уравнений (13.2) с учетом условий закрепления балки дает возможность найти функции 
и 
.
Подстановка 
из второго уравнения системы (13.2) в первое дает дифференциальное уравнение второго порядка относительно функции прогиба 
 .
| (13.3) |
С учетом известных дифференциальных соотношений между поперечной силой и интенсивностью распределенной нагрузки (7.3) 
, между изгибающим моментом и поперечной силой (7.4) 
, а также (13.2) получим:
 ,
 ,
 ,
 .
| (13.4) |
Интегрирование системы четырех обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка (13.4) выполняется с учетом граничных условий:
| 
| (13.5) |
| 
| (13.6) |
| 
| (13.7) |