Определение точности оценок параметров распределения

Расчетная работа №1

Расчет характеристик надежности авиационной техники

Вариант 2.24

 

 

Выполнил: студент гр. 343

Горшихин А.П.

Проверил: Кириллов А.B.

 

 

Самара 2014

Условие:

Наработки до отказа насоса ЭЦН-323 (негерметичность уплотнения валика крыльчатки) образует ряд:

 

950, 1740, 2190, 2541, 2601, 3150, 6690, 9999, 9999, 9180, 10000, 9950, 9595, 9500, 9600, 9490, 3900, 7340, 4110, 7300, 4500, 7400, 7395, 4490, 7680, 5201, 5325, 7900, 8400, 5396, 5890, 8550, 5999, 8600, 8800, 6280, 6406, 6721, 8902, 8940, 4610 часов.

 

Число наблюдаемых двигателей N = 260.

Наблюдение велось до появления числа отказов r= 41.

Нормативные значения вероятности безотказной работы [P(t)] =0,95 при наработке [t] =6000 часов.

Оценить надежность насоса.

Решение:

1. Группировка данных

Интервал наработки 0…10000 часов разбиваем на интервалы по правилу Старджена:

K=1+3,3lgn=1+3,3lg41=6,32

где k – количество разрядов.

2. Расчёт эмпирических характеристик надежности:

- плотность распределения,

где ∆n_i – число отказавших изделий на интервале ∆t_i.

- интенсивность отказов;

- вероятность безотказной работы.

Результаты расчетов сводим в таблицу 1.

Таблица 1 – Расчёт эмпирических характеристик надёжности.

№ инт	ti-1, час	ti, час	Dti, час	Dni	fi*=Dni/NDti, 1/час	li*=Dni/NиiDti, 1/час	Pi*=fi*(t)/li*(t)
					2,5641E-06	2,5641E-06
					1,02564E-05	1,0296E-05	0,996154
					1,28205E-05	1,30719E-05	0,980769
					1,53846E-05	0,000016	0,961538
					2,05128E-05	2,18579E-05	0,938462
					2,05128E-05	2,25989E-05	0,907692
					2,30769E-05	2,63158E-05	0,876923

По данным таблицы 1 строим и анализируем гистограммы.

Рисунок 1 – Гистограмма плотности распределения.

Рисунок 2 – Гистограмма интенсивности отказов.

Рисунок 3 – Гистограмма вероятности безотказной работы.

Определение параметров закона распределения.

Насос ЭЦН-323 является сложным объектом, состоящим из множества элементов, вероятность отказов которых достаточно мала. Следовательно, можно выдвинуть гипотезу, что отказы насоса-регулятора распределены по экспоненциальному закону. Этому предположению не противоречит и внешний вид гистограмм.

Определение параметров закона распределения. Экспоненциальный закон распределения является однопараметрическим, т.е. для его полного определения необходимо найти один параметр - интенсивность отказов l. В настоящем примере осуществлен план наблюдений [NUr], следовательно, параметр l можно вычислить с использованием метода максимума правдоподобия по выражению

(1)

 

где n– число отказов

N – число изделий

t; T – время промежутка и общее.

 

Отсюда получаем среднее время наработки до отказа:

ч.

 

Проверка правильности принятой гипотезы

Проверка правильности принятой гипотезы. Осуществляется с помощью критерия Пирсона, рассчитанного по выражению. Число разрядов при расчете критерия на единицу больше числа разрядов разбиения вариационного ряда k, так как добавляется интервал от Т_a до +¥. Результаты расчетов представлены в таблице 2

 

Таблица 2. Расчёт критерия Пирсона

№ инт.	ti-1, ч	ti, ч	Dti, ч	Dni	qi(Dti)	N*qi(Dti)	Dni -N*qi(Dti)	Ui2
					0,024592552	6,394063547	-5,39406	4,550459
					0,023987758	6,236817206	-2,23682	0,802228
					0,023397838	6,083437954	-1,08344	0,192956
					0,022822426	5,933830689	0,066169	0,000738
					0,022261164	5,787902649	2,212097	0,845449
					0,021713705	5,645563351	2,354437	0,981899
					0,02117971	5,50672454	3,493275	2,216013
		¥			0,84704623	220,2320208	1,2320208	0,00689216

 

 

Число степеней свободы r в случае семи разрядов таблицы и одного параметра закона распределения, равно 6 (r=8-1-1). Задавшись уровнем значимости a=5%, по таблице 3 Приложения 2 в зависимости от P=1-a=95% и числа степеней свободы r=6 находим критическое значение c²_кр=12,6. Подсчитанное значение U²=∑9,6586636 не попадает в критическую область (12,6;+¥), следовательно, принятая гипотеза об экспоненциальном законе распределения не противоречит статистическим данным.

.

 

Определение точности оценок параметров распределения

Верхнюю и нижнюю границы доверительного интервала для параметра вычисляем по формулам:

,

Для доверительной вероятности и n=41 найдем значения и , т.е значение , соответствующие доверительной вероятности и соответственно и числу степеней свободы 2*n=2*41=82 и 2*n+2=2*41+2=84.

 

Подставим найденные значения получим

,

 

Таким образом, интервал (1,12*10^-5;2,44*10^-5) с доверительной вероятностью 95% покрывает истинное значение параметра ,