Об интегрировании в конечном виде.

Не всякая элементарная функция имеет в качестве своей первообразной тоже элементарную функцию. Можно указать множество интегралов от элементарных функций, которые не выражаются через элементарные функции:

и т.д.

Если интеграл не выражается через элементарные функции, то говорят, что он не берется в конечном виде. Такие интегралы представляют собой некоторые неэлементарные функции (высшие трансцендентные функции).

Глава 11. Определенный интеграл.

85. Задачи, приводящие к понятию

определенного интеграла

I. Задача о площади.

Пусть функция f(x) непрерывна и положительна на . Вычислим площадь фигуры, ограниченной кривой y = f(x) и прямыми

x = a, x = b, y = 0. Эта фигура называется криволинейной трапецией. Разобьем на n произвольных частей точками , проведем в них ординаты. Сегмент разобьется на n частичных сегментов . Их длины обозначим через соответственно.

Криволинейная трапеция разбилась на n полос. Площадь каждой полосы приближенно заменим площадью прямоугольника с основанием и высотой, равной любой из ординат на этом частичном сегменте, например в точкe . Площадь i-ой полоски приближенно равна , а площадь всей криволинейной трапеции . Если число точек деления безгранично увеличивать так, чтобы , то ступенчатый многоугольник будет иметь площадь, все более приближающуюся к площади P криволинейной трапеции. Пришли к вычислению предела суммы

II. Задача о работе. Пусть материальная точка движется прямолинейно под действием силы F. Вычислим работу, совершаемую силой при перемещении точки из M в N. Пусть a и b - абсциссы этих точек. Если сила F постоянна, то работа

A = F(b – a).

Пусть . Разобьем MN на n произвольных частей точками

. Силу F на каждом частичном сегменте заменим постоянной силой Q, равной значению F в какой-нибудь точке

. Работа силы Q на равна

. Работа силы F на MN приближенно равна

Если при безграничном увеличении числа точек деления и эта сумма имеет предел, то его и примем за работу A.

86. Интегрируемость функции

и определенный интеграл

Пусть на задана функция . Разобьем на n произвольных частей точками деления . Эту систему точек

назовем разбиением T сегмента .

Число зависит от разбиения T, т.е. . Выберем произвольную точку и составим сумму

Определение 1. Сумма (1) называется интегральной суммой или суммой Римана для функции на

Значение суммы зависит от разбиения Т и от выбора точек . Геометрически каждое слагаемое – площадь прямоугольника с основанием и высотой . Эти прямоугольники составляют ступенчатый многоугольник, площадь которого равна .

Определение 2. Число называется пределом интегральных сумм , если такое, что для любого разбиения T сегмента , удовлетворяющего условию , и для любого выбора точек выполняется неравенство . Пишут

Это определение предела является новым понятием, не укладывающимся в рамки уже известных нам определений пределов.

Определение 3. Если существует , то этот предел называется определенным интегралом функции на .

Пишут , a - нижний, b - верхний предел интегрирования.

Определение 4. Функция , для которой существует , называется интегрируемой на

Теорема 1. Функция, интегрируемая на , ограничена на

Доказательство. Допустим противное, т.е. пусть не ограничена на . T – произвольное разбиение . Так как не ограничена на , то она не ограничена по крайней мере на одном . Выбрав точку

подходящим образом, слагаемое можно сделать как угодно большим по абсолютной величине. Но тогда суммы при не могут иметь конечного предела. Теорема доказана.

87. Нижние и верхние интегральные суммы

Пусть определена на , Т – разбиение ,

, Составим суммы

Если интегрируема на , то она ограничена на .

Поэтому суммы s и S имеют смысл и зависит только от разбиения Т. Пишут s(T), S(T). Сумма S(T) называется верхней интегральной суммой Дарбу, s(T) - нижней интегральной суммой Дарбу.

1) Так как при любом выборе точек

, то . Отсюда

, т.е. .

Таким образом, сумма, соответствующая данному разбиению Т, лежит между, соответствующими тому же разбиению Т.

2) Так как , то – по определению верхней грани не является таковой на . Поэтому существует , в которой . Тогда и

, т.е. . Так как как угодно мало, то существуют интегральные суммы как угодно мало отличающиеся от . С другой стороны, . Таким образом, - верхняя грань для интегральных сумм , соответствующих данному разбиению .

. Аналогично .

Когда непрерывна на числа является соответственно наибольшим и наименьшим значениям функции на

Значит, для непрерывной функции сумма – наибольшая из интегральных сумм, - наименьшая, соответствующих данному разбиению.

88. Свойства сумм Дарбу

Теорема 1. Если к имеющимся точкам деления добавить новые точки, то нижняя сумма Дарбу не уменьшится, верхняя не увеличится.

Доказательство. Для доказательства достаточно ограничиться случаем, когда добавляется одна точка . Пусть попадает между точками и , т.е. . Пусть ,

Так как и – части , то ,

, . В новой нижней сумме слагаемое заменено суммой , т.е. нижняя сумма не уменьшится. С верхней – аналогично.

Теорема 2. Всякая нижняя сумма Дарбу не больше любой верхней суммы.

Доказательство. Для одного и того же разбиения теорема очевидна, т.к. из имеем , откуда .

Пусть и – два произвольных разбиения, никак не связанные между собой. Докажем, что . Рассмотрим разбиение , являющиеся объединением и . Разбиение можно получить из , добавлением всех точек из и наоборот. По теореме 1 имеем:

Кроме того,

Из (1), (2), (3) получаем . Теорема доказана.

Таким образом, множество всех нижних сумм ограничено сверху, например любой верхней суммой . Следовательно, множество имеет верхнюю грань . По определению верхней грани , т.е. множество всех верхних сумм ограничено снизу числом . Значит, множество имеет нижнюю грань , причем . Так что для любых и

Величины и существуют для любой ограниченной функции , определенной на , в силу свойств сумм Дарбу. – нижний интеграл Дарбу,

- верхний интеграл Дарбу для функции на .

89. Существование определенного интеграла

Теорема 1. Для интегрируемости ограниченной функции на некотором отрезке необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие

Доказательство. Условие (1) означает, что такое, что

для любого разбиения , удовлетворяющего условию .

Необходимость. Пусть функция интегрируема на , т.е

. Значит, такое, что , если . Так, что при . Но для любого разбиения имеем . Отсюда для любого , удовлетворяющего условию , будет , т.е. при . Отсюда .

Достаточность. Пусть ограничена и выполняется условие (1). Так как

то . Величины и от разбиения не зависят. В силу (1) имеем из предыдущего неравенства . Обозначим их общее значение через . Тогда, откуда для любого разбиения , удовлетворяющего условию . В силу (1)

т.е.

Так как для любого разбиения , то , т.е. интегрируема. Теорема доказана.

Из (3) видим, что если интегрируема на , то не только интегральные суммы , но и суммы Дарбу и сходятся к интегралу при .

Определение 1. Разность , где

называется колебанием функции , определенной и ограниченной на .

Пусть дано разбиение сегмента . Колебание функции на частичном сегменте обозначим через . Тогда

. Так что условие (1) равносильно условию

90. Некоторые классы интегрируемых функций

Теорема 1. Если функция непрерывна на , то она интегрируема на .

Доказательство. Из непрерывности функции на следует ее ограниченность на (§35, теорема Вейерштрасса) и равномерная непрерывность на (§37, теорема Кантора), т.е. такое, что для любой пары точек и из , , выполняется неравенство

Пусть – любое разбиение , . Так как непрерывна на , то на каждом частичном сегменте она достигает наибольшего и наименьшего значений, т.е. на и что ,

Так как , то ,т.е.

. Тогда т.е. . Теорема доказана.

Теорема 2. Если определенная и ограниченная на функция имеет лишь конечное число точек разрыва, то функция интегрируема на .

Иногда интегрируемы функции, имеющие даже бесконечно много точек разрыва.

Теорема 3. Если функция определена и монотонна (в широком смысле) на , то она интегрируема на .

Доказательство. Пусть для определенности не убывает на . Тогда , , т.е. ограничена на .

Пусть – произвольное разбиение , . Так как , , то .

. Таким образом . Теорема доказана.

Теперь можно построить пример функции с бесконечным числом точек разрыва, которая будет интегрируемой.

Пусть , при . Она монотонна на и имеет разрывы в точках . По теореме 3 эта функция интегрируема на .

Не всякая ограниченная функция интегрируема!

Например, функция Дирихле не интегрируема ни на каком сегменте. При любом разбиении имеем , т.е .

91. Свойства определенного интеграла

1) До сих пор в мы считали .

Определение 1. Для любой функции положим , а для функции, интегрируемой на , .

В считаем, что отрезки «измеряются» в отрицательном направлении. Тогда интегральные суммы для отличаются от интегральных сумм для только знаком.

2) Если функция интегрируема на , то она и на любом

интегрируема.

Доказательство. Так как интегрируема на , то такое, что , если , – разбиение . Пусть – любое разбиение , . Отрезки и разобьем на части, длины которых . Получим разбиение сегмента , . Для будет . Аналогичная сумма для состоит только из части слагаемых, т.е. для тем более будет .

3) Если функция интегрируема на , - произвольная точка этого сегмента, то .

Доказательство. Пусть интегрируема на , - любое разбиение , - точка деления. По свойству 2) интегрируема на и . Cоставим для на интегральную сумму . Все слагаемые из , соответствующие объединим в , остальные – в , . Перейдем к пределу: , т.е. Если точка не является точкой деления разбиения , то рассмотрим новое разбиение , полученное добавлением точки и рассуждаем аналогично.

Свойство 3) называется свойством аддитивности определенного интеграла. Геометрически: площадь равна сумме площадей и .

Замечание. Свойство 3) остается верным и тогда, когда точка не лежит на , а интегрируема на или .

Действительно, пусть , интегрируема на . По свойству 3) т.е.

4) Если функция интегрируема на , то , , интегрируема на и .

Доказательство. Для функции составим интегральную сумму , где – интегральная сумма для .

5) Если функции и интегрируемы на , то интегрируема на и .

Доказательство. - любое разбиение , и – интегральные суммы для и соответственно, - интегральная сумма для .

, и существуют. Значит существует и , т.е. интегрируема на .

6) Если и интегрируема на , , то .

Доказательство. При любом и любом выборе точек будет

, т.е. , откуда .

7) Если функции и интегрируемы на , ,

, то .

Доказательство. Так как , то

, откуда .

8) Если интегрируема на , , то интегрируема на и .

Доказательство. Так как , то колебание функции на не превышает колебания функции , т.е. . Значит . Так как интегрируема на , то . Тогда , т.е. интегрируема на . Так как , то по свойству 7)

, т.е. .

92. Теорема о среднем значении

Теорема 1. Если функция интегрируема на , и

, то

Доказательство. Из по свойству 7) . Но , так как здесь подынтегральная функция равна 1 и любая интегральная сумма . Получаем (1). Теорема доказана.