Найдем матрицу определенного вида:
Вычисляем коэффициенты полинома
Получили полином третьей степени:
P(x)=-0.112x3+1.527x2+0.309x+2.422
3. Проверяем правильность найденных коэффициентов, подставив значение x из числа заданных, и найдем значение функции при x=1,91
Значение функции полностью совпадает со значением, найденным выше.
4. Строим графики значений vyi и полученных многочленов f(x) и P(x).
5. Проверяем полученное значение с помощью встроенной функции linterp(x, y, x1).
6. Составляем функцию, реализующую интерполирование функцией многочлена Лагранжа:
Интерполирование сплайнами
Исходные данные:
Интерполированная функция задана данными, состоящей из четырех узлов (n=3):
| X | 0,02 | 0,08 | 0,12 | 0,17 |
| F(x) | 1,02316 | 1,0959 | 1,14725 | 1,21483 |
Найти значения коэффициентов bi, ci, di, определяющих кубический сплайн на трех частичных отрезках. Проанализировать, что будет в случае увеличения заданных значений xi.
Решение:
1. Составим систему, состоящую из десяти уравнений.
Получаем значения коэффициентов bi, ci, di, которые определяют искомый сплайн.
2. Убедимся, что найденный сплайн удовлетворяем заданным свойствам. Значения сплайна и его первых производных в соответствующих узловых точках.
Значения, найденные с помощью построенного сплайна и с помощью встроенной функции интерполирования, совпадают до третьего знака после запятой.
3. Совпадение значений, найденных с помощью построенного сплайна и встроенной функции интерполирования, можно проверить с помощью функции сплайн-интерполяции.
4. Функция cspline возвращает значения коэффициентов кубического сплайна vs, который используется функцией interp для построения кубического сплайна:
5. Графическая иллюстрация сплайна:
Можно увидеть практическое совпадение значений «соседних» выражений сплайна в узловых точках, а также совпадение этих значений с табличными значениями функции f(x). Это обе6спечивает гладкость кубического сплайна.
Задание для индивидуального выполнения:
| Буланов | X | 0,43 | 0,48 | 0,55 | 0,62 | 0,70 | 0,75 | в точке x=0,702 |
| Y | 1,63597 | 1,73234 | 1,87686 | 2,03045 | 2,22846 | 2,35973 | ||
| Вакуленко | X | 0,43 | 0,48 | 0,55 | 0,62 | 0,70 | 0,75 | в точке x=0,645 |
| Y | 1,63597 | 1,73234 | 1,87686 | 2,03045 | 2,22846 | 2,35973 | ||
| Воронов | X | 0,43 | 0,48 | 0,55 | 0,62 | 0,70 | 0,75 | в точке x=0,608 |
| Y | 1,63597 | 1,73234 | 1,87686 | 2,03045 | 2,22846 | 2,35973 | ||
| Вылегжанин | X | 0,02 | 0,08 | 0,12 | 0,17 | 0,23 | 0,30 | в точке x=0,203 |
| Y | 1,02316 | 1,09590 | 1,14725 | 1,21483 | 1,30120 | 1,40976 | ||
| Голованов | X | 0,35 | 0,41 | 0,47 | 0,51 | 0,56 | 0,64 | в точке x=0,482 |
| Y | 2,73951 | 2,30080 | 1,96864 | 1,78776 | 1,59502 | 1,34310 | ||
| Гурнутин | X | 0,02 | 0,08 | 0,12 | 0,17 | 0,23 | 0,30 | в точке x=0,102 |
| Y | 1,02316 | 1,09590 | 1,14725 | 1,21483 | 1,30120 | 1,40976 | ||
| Ибрагимов | X | 0,35 | 0,41 | 0,47 | 0,51 | 0,56 | 0,64 | в точке x=0,436 |
| Y | 2,73951 | 2,30080 | 1,96864 | 1,78776 | 1,59502 | 1,34310 | ||
| Исенгалиев | X | 0,41 | 0,46 | 0,52 | 0,60 | 0,65 | 0,72 | в точке x=0,616 |
| Y | 2,57418 | 2,32513 | 2,09336 | 1,86203 | 1,74926 | 1,62098 | ||
| Кожевников | X | 0,02 | 0,08 | 0,12 | 0,17 | 0,23 | 0,30 | в точке x=0,114 |
| Y | 1,02316 | 1,09590 | 1,14725 | 1,21483 | 1,30120 | 1,40976 | ||
| Конистратенко | X | 0,35 | 0,41 | 0,47 | 0,51 | 0,56 | 0,64 | в точке x=0,552 |
| Y | 2,73951 | 2,30080 | 1,96864 | 1,78776 | 1,59502 | 1,34310 | ||
| Коркин | X | 0,41 | 0,46 | 0,52 | 0,60 | 0,65 | 0,72 | в точке x=0,487 |
| Y | 2,57418 | 2,32513 | 2,09336 | 1,86203 | 1,74926 | 1,62098 | ||
| Лашманов | X | 0,02 | 0,08 | 0,12 | 0,17 | 0,23 | 0,30 | в точке x=0,285 |
| Y | 1,02316 | 1,09590 | 1,14725 | 1,21483 | 1,30120 | 1,40976 | ||
| Лебедев | X | 0,35 | 0,41 | 0,47 | 0,51 | 0,56 | 0,64 | в точке x=0,526 |
| Y | 2,73951 | 1,20080 | 1,96864 | 1,78776 | 1,59502 | 1,34310 | ||
| Лёвочкин | X | 0,41 | 0,46 | 0,52 | 0,60 | 0,65 | 0,72 | в точке x=0,665 |
| Y | 2,57418 | 2,32513 | 2,09336 | 1,86203 | 1,74926 | 1,62098 | ||
| Матюшанов | X | 0,41 | 0,46 | 0,52 | 0,60 | 0,65 | 0,72 | в точке x=0,537 |
| Y | 2,57418 | 2,32513 | 2,09336 | 1,86203 | 1,74926 | 1,62098 | ||
| Мельничук | X | 0,68 | 0,73 | 0,80 | 0,88 | 0,93 | 0,99 | в точке x=0,774 |
| Y | 0,80866 | 0,89492 | 1,02964 | 1,20966 | 1,34087 | 1,52368 | ||
| Николаев | X | 0,11 | 0,15 | 0,21 | 0,29 | 0,35 | 0,40 | в точке x=0,275 |
| Y | 9,05421 | 6,61659 | 4,69170 | 3,351069 | 2,73951 | 2,36522 | ||
| Носенко | X | 0,68 | 0,73 | 0,80 | 0,88 | 0,93 | 0,99 | в точке x=0,896 |
| Y | 0,80866 | 0,89492 | 1,02964 | 1,20966 | 1,34087 | 1,52368 | ||
| Носиков | X | 0,11 | 0,15 | 0,21 | 0,29 | 0,35 | 0,40 | в точке x=0,314 |
| Y | 9,05421 | 6,61659 | 4,69170 | 3,351069 | 2,73951 | 2,36522 | ||
| Овчинников | X | 0,05 | 0,10 | 0,17 | 0,25 | 0,30 | 0,36 | в точке x=0,263 |
| Y | 0,050042 | 0,100335 | 1,171657 | 0,255342 | 0,309669 | 0,376403 | ||
| Татьянко | X | 0,68 | 0,73 | 0,80 | 0,88 | 0,93 | 0,99 | в точке x=0,715 |
| Y | 0,80866 | 0,89492 | 1,02966 | 1,20966 | 1,34087 | 1,52368 | ||
| Чурсин | X | 0,11 | 0,15 | 0,21 | 0,29 | 0,35 | 0,40 | в точке x=0,235 |
| Y | 9,05421 | 6,61659 | 4,69170 | 3,351069 | 2,73951 | 2,362522 |
Список литературы
1. Поршнев С.В., Численные методы на базе Mathcad / С.В. Поршнев, И.В. Беленкова – СПб.: БХВ-Петербург, 2005. – 464 с.
2. Амосов А.А., Вычислительные методы для инженеров / А.А. Амосов, Ю.А. Дубинский, Н.В. Копченова– М.: Высшая школа, 1994. – 544 с.
3. Самарский А.А., Задачи и упражнения по численным методам: Учебное пособие / А.А. Самарсий, П.И. Ваюищевич, Е.А. Саморская – М.: Эдиториал УРСС, 2000. – 207 с.
Методические указания
Алексей Александрович Силаев
Елена Юрьевна Силаева