За угол между двумя прямыми

Прямая линия в пространстве.

Прямую линию в пространстве можно представить как пересечение двух плоскостей, то есть совокупность двух уравнений плоскостей. Систему двух непараллельных уравнений (плоскостей) называют общими уравнениями прямой:

А. Канонические уравнения прямой в пространстве.

Каждый не равный нулю вектор, лежащий на данной прямой или параллельный ей, называется направляющим вектором данной прямой и обозначается: .

Если известна точка , прямой и направляющий вектор , то прямая может быть определена (двумя) уравнениями вида:

, (20)

которые называются каноническими уравнениями прямой.

Канонические уравнения прямой, проходящей через две данные точки и имеют вид:

. (21)

Обозначив буквой каждое из равных отношений в канонических уравнениях, мы получим: . Отсюда

. (22)

Уравнения (22) есть параметрические уравнения прямой, проходящей через точку , параллельно вектору . В уравнениях (22) рассматривается как произвольно изменяющийся параметр; - как функции от . При изменении величины меняются так, что точка движется по данной прямой.

Б. Приведение общих уравнений прямой к каноническому виду.

Пусть прямая линия задана общими уравнениями:

, (23)

где , – нормальные векторы заданных плоскостей.

Выберем на прямой определенную точку . Для этого, например, зададим произвольно, а и получим из системы (23).

В качестве направляющего вектора возьмем вектор :

Следовательно, каноническое уравнения прямой, соответствующее системе (23), имеет вид:

(24)

Угол между двумя прямыми.

За угол между двумя прямыми

, ,

принимается угол между их направляющими векторами.

Здесь , – направляющие вектора данных прямых:

(25)

Условие параллельности двух прямых:

(26)

Условие перпендикулярности двух прямых:

(27)

Пример 4. Составить каноническое уравнение прямой , проходящей через две заданные точки: , .

Согласно формуле (21) запишем:

Пример 5. Составить уравнение прямой , проходящей через точку параллельно прямой :

Решение. На прямой образуем текущий вектор . Из канонического уравнения прямой находим направляющий вектор , здесь . Так как , то для любой точки . Используя теперь условие параллельности, получаем канонические уравнения прямой :

Пример 6. Известны уравнения двух прямых:

: , и :

a) Проверить, являются ли и параллельными.

b) Проверить, являются ли и перпендикулярными.

c) Найти угол между прямыми и .

Решение.

а) Из условия параллельности прямых имеем, , если их направляющие вектора и параллельны. Координаты вектора легко получаются из заданных канонических уравнений прямой : . Для прямой , определяемой пересечением плоскостей, направляющий вектор находится как векторное произведение: = , где , .

Вычисляем,

Так как координаты векторов и не пропорциональны, то условие параллельности для векторов и не выполняется, а значит, не параллельна .

b) Из условия перпендикулярности прямых, , если . Так как , то условие перпендикулярности векторов и не выполняется. Стало быть, не перпендикулярна к .

c) Угол между прямыми найдем по формуле (25):

Пример 7. Привести к каноническому виду уравнения прямой:

Решение.

Найдем направляющий вектор прямой :

За точку , через которую проходит искомая прямая в уравнении (20), можно принять точку пересечения ее с любой из координатных плоскостей, например с плоскостью . Так как при этом , то координаты определяются из заданного уравнения прямой, если в нем положить :