Приведем другое решение. Задание 18 № 505988. Примечение РЕШУ ЕГЭ.

Задание 18 № 519639

Найдите все значения а, при каждом из которых множество решений неравенства

содержит отрезок

Решение.

Заметим, что при любых значениях переменной и параметра знаменатель дроби в левой части неравенства положителен, поэтому исходное неравенство равносильно неравенству

Для того, чтобы множество решений неравенства содержало отрезок , удвоенный аргумент должен содержать отрезок , а косинус двойного угла должен принимать все значения (см. рисунок)

 

Пусть , тогда неравенство принимает вид

Рассмотрим функцию

Для того, чтобы множество решений последнего неравенства содержало отрезок необходимо и достаточно, чтобы одновременно выполнялись два условия и

Ответ:

 

Задание 18 № 516765

Найдите все такие значения параметра a, при каждом из которых уравнение имеет решения на отрезке

Решение.

Заметим, что

Преобразуем уравнение:

Рассмотрим два случая.

Пусть , тогда из неравенства:

Отрезку принадлежат два числа и

Пусть , тогда имеем:

В первой серии не содержится корней, лежащих на отрезке Среди корней, содержащихся во второй серии, отрезку принадлежит одно число Подставляя его в неравенство, получаем: откуда

 

Ответ: ,

 

51. Задание 18 № 529302 перебор случаев

Найдите все значения параметра a, при которых уравнение

имеет единственное решение на интервале

Решение.

Исходное уравнение равносильно совокупности

Уравнение на интервале при имеет один корень, при имеет два корня (см. верхний рисунок).

Система

на интервале при не имеет корней, при имеет два корня, при имеет один корень, при не имеет корней (см. нижний рисунок).

Выясним, при каких значениях a корни уравнений и совпадают. Для этого решим уравнение

Значит, корни уравнений и совпадают только при

Суммируя все случаи, получаем, что исходное уравнение на интервале

— при имеет один корень;

— при — три корня;

— при — два корня;

— при — один корень;

— при — два корня;

— при — один корень;

— при — два корня.

 

Ответ:

 

Задание 18 № 505782

Найдите все значения параметра a, при которых функция

является возрастающей на всей числовой прямой и при этом не имеет критических точек.

Решение.

Возьмем производную этой функции (она должна быть всюду положительна).

Обозначим

 

Это неравенство должно выполняться при всех t из отрезка

Если то неравенство не выполняется, например, при

Если то при всех t из отрезка и поэтому нужно, чтобы

Если то при всех t из отрезка и поэтому нужно, чтобы

 

Ответ: или

 

Задание 18 № 505988

Найти все значения параметра при каждом из которых наименьшее значение функции на отрезке принимает наименьшее значение.

Решение.

Наименьшее значение эта функция принимает либо в нулях производной, либо в одном из концов отрезка. Найдем производную:

поэтому нули производной равны

 

Если то производная имеет вид корни производной суть числа 0 и −1. Отрезок становится отрезком [0; 1], на нем функция f возрастает. Наименьшее значение достигается на левой границе отрезка. (*)

Если то а не лежит на отрезке В этом случае имеем следующее расположение знаков производной:

 

Интервал	(		()
знак	+	−	+

 

Наименьшего значения функция достигает либо на левой границе отрезка, либо в точке (**)

Если то производная имеет вид Отрезок становится отрезком на нем функция лежит единственный корень производной — число 0. Это точка максимума, поэтому наименьшее значение достигается или на левой границе отрезка, или на правой границе. Эти значения равны, будем считать, что наименьшее значение достигается на левой границе (***).

Объединяя случаи (*), (**) и (***) получаем, что если то ее наименьшее значение равно наименьшему из значений и Имеем:

Рассмотрим разность найденных значений на отрезке

Поэтому

Если то а не лежит на указанном отрезке. Рассуждая аналогично, находим, что если то функция убывает на и на Проведя аналогичные вычисления, можно получить, что ее наименьшее значение равно

Осталось исследовать наименьшие значения (1) и (2) на соответствующих отрезках и найти наименьшее из них. Однако поскольку при замене функции переходят друг в друга, достаточно будет исследовать одну из них. Иными словами, поскольку для всех α из отрезка верно равенство достаточно найти наименьшее значение функции на промежутке

Исследуем производную функции на интервале

Решениями уравнения являются числа и На интервале значения тангенса положительны и меньше 1, поэтому в него входит только корень

На интервале производная отрицательна, на интервале положительна. Следовательно, функция убывает на отрезке и возрастает на отрезке Поэтому наименьшее значение на отрезке достигается в точке Такое же наименьшее значение принимает и в точке принадлежащей отрезку

Итак, наименьшее значение достигается в точках и

 

Примечение РЕШУ ЕГЭ.

Это задание из вступительного экзамена в Московский государственный университет несколько сложнее других.

Задание 18 № 519644

Найдите все значения параметра a, при каждом из которых множество значений функции содержит отрезок

Решение.

Пусть тогда причем Пусть, далее, тогда и Обозначим, наконец, и заметим, что в силу неотрицательности b справедливо неравенство Исходная задача свелась к следующей: необходимо найти все значения параметра с, при каждом из которых множество значений функции при содержит отрезок [2; 3].

Заметим, что разность неотрицательна при а значит, знаменатель дроби не меньше 1. Следовательно, функция непрерывна, а тогда отрезок [2; 3] лежит во множестве ее значений тогда и только тогда, когда уравнения и имеют решения, удовлетворяющие условию

Рассмотрим эти уравнения:

 

Поскольку справедливы оценки: Тем самым, свободные члены квадратных трехчленов и отрицательны, а значит, их графики пересекают ось ординат в точках с отрицательной абсциссой. Ветви соответствующих парабол направлены вверх, их вершины лежат ниже оси абсцисс на прямых и соответственно. Из этого следует, что указанные параболы будут пересекать отрезок оси абсцисс хотя бы в одной точке тогда и только тогда, когда и одновременно. Имеем:

Тогда откуда

 

Ответ: a = −1.

 

Задание 18 № 519682

Найдите все значения a, при каждом из которых для любой пары действительных чисел u и v выполнено неравенство

Решение.

Пусть Имеем:

При фиксированных v и a рассмотрим левую часть как функцию от x:

В зависимости от того, как располагается x относительно точек и модули раскроются по-разному. При этом на каждом участке непрерывная функция f(x) будет линейной с угловым коэффицентом Какова бы ни была комбинация знаков, Следовательно, f(x) монотонно возрастает. Поэтому неравенство выполняется при всех если и только если

При малых v, то есть меньших, чем наименьшее из чисел и функция — возрастающая линейная с угловым коэффицентом При больших v, то есть больших, чем максимум из тех же чисел, g(v) — убывающая линейная функция с угловым коэффицентом (см. рис.). Поэтому функция g(v) принимает наибольшее значение в одной из точек или Неравенство выполняется при всех v тогда и только тогда, когда и Получаем:

Ответ:

Задание 18 № 526808

При каких значениях параметра a область значений функции

содержит отрезок [1; 2]?

Решение.

Полагая перепишем уравнение в виде:

где а Дальнейшие рассуждения свяжем с соотношением

которое будем рассматривать как уравнение относительно переменной z. Это уравнение может иметь лишние корни, которые, если они существуют, будут выявлены в дальнейшем при рассмотрении системы

Имея это в виду, рассмотрим квадратный трёхчлен

Тогда задачу можно переформулировать следующим образом: при каких значениях параметра b для любого существует корень квадратного трёхчлена принадлежащий отрезку [−1; 1]?

Заметим, что квадратный трёхчлен имеет корни только в случае, когда где — абсцисса вершины параболы — графика рассматриваемого трёхчлена, с учётом того, что приходим к рассмотрению неравенства

которое при равносильно неравенству

Если теперь рассмотреть функцию то так как для своё максимальное значение она принимает на правом конце рассматриваемого отрезка. А поскольку

то неравенство будет выполняться при всех Следующий шаг в решении задачи состоит в том, чтобы среди найденных значений параметра b, при которых существуют корни уравнения выбрать те значения, при которых хотя бы один из корней принадлежит отрезку [−1; 1].

Но так как и то и поэтому хотя бы один корень квадратного трёхчлена будет принадлежать отрезку [−1; 1] при тех значениях параметра b, при которых справедливо неравенство т. е. когда

Функция графиком которой является гипербола, принимает наименьшее своё значение на отрезке [1; 2], равное при и поэтому

Объединяя полученные результаты, приходим к выводу, что

Рассмотрим теперь случай, когда в соотношении

Решая эту систему, находим, что либо либо При равенство переписывается в виде

и значения достигаются при значениях При равенство записывается в виде

и значения достигаются при значениях Но у нас и, таким образом, значение не удовлетворяет требованиям задачи. Итак,

Возвращаясь к параметру a, получаем:

 

Ответ:

 

14. Задание 18 № 484636 уравнение дкружности

При каких значениях а системы уравнении и равносильны?

Решение.

При ни одна из систем не имеет решений и, следовательно, они равносильны. При второе уравнение, общее для обеих систем, имеет единственное решение , , удовлетворяющее и первым уравнениям обеих систем. Поэтому системы равносильны и при

При второе уравнение задается окружностью радиуса с центром в начале координат. Уравнение равносильно бесконечной совокупности уравнений ,

Системы равносильны тогда и только тогда, когда окружность, определяемая вторым уравнением, имеет общие точки только с прямой , соответствующей в первой системе. Для этого необходимо и достаточно, чтобы ее радиус был меньше, чем расстояние от начала координат до прямой , т. е. чем число

Итак, или Добавляя полученные ранее значения , получаем ответ.

 

Ответ:

 

Задание 18 № 530241

Найдите все значения параметра a, при которых система уравнений

имеет ровно четыре решения.

Решение.

Преобразуем систему:

Графиком второго уравнения является семейство параллельных прямых (см. рис., выделено лиловым). При первое уравнение, а значит, и вся система, не имеет решений. При графиком первого уравнения в системе координат xOy является окружность с центром в точке и радиусом , при вырождающаяся в точку. При система имеет единственное решение Исходная система будет иметь ровно четыре решения тогда и только тогда, когда окружность будет иметь ровно четыре общие точки с семейством прямых.

Прямая при любом значении имеет две общие точки с окружностью. В силу симметрии прямая и прямая касаются окружности при одном и том же значении a. Радиус окружности в этом случае равен половине диагонали квадрата со стороной 1, то есть радиус равен откуда Значит, при система имеет ровно четыре решения. При других значениях параметра система будет иметь или больше четырех решений, или меньше.

 

Ответ:

 

Задание 18 № 505710

Найти все значения параметра a, при каждом из которых неравенство

выполняется для всех x из отрезка

Решение.

Пусть тогда то есть Проявив опыт и смекалку, запишем полученное неравенство в виде

Полученное неравенство имеет вид для Поскольку для всех y, функция f возрастающая. Следовательно, неравенство относительно значений функции можно заменить равносильным неравенством на аргументы. Тогда откуда

Возвращаясь к исходной переменной, получаем неравенство то есть которое должно быть выполнено для всех х из отрезка Старший коэффициент квадратного трехчлена положителен, поэтому если значения g на концах отрезка отрицательны, то и на всем отрезке отрицательны. Получаем систему:

Ответ:

 

Приведем другое решение.

Введя замену получим неравенство Запишем это неравенство в виде Этим задача сведена к неравенству для возрастающей функции Тем самым откуда

Теперь заметим, что старший коэффициент квадратного трехчлена положителен, а Тогда если то на всем отрезке Таким образом, откуда

 

Укажем иной путь.

Пусть тогда Преобразуем правую часть:

получаем

Если то Все такие числа t являются решениями, так как правая часть не меньше −2.

Если то левая часть отрицательна, а правая положительна. Неравенство верно.

Если то обе части неравенства равны 0. Неравенство неверно.

Если то левая часть положительна, а правая отрицательна. Решений нет.

Если то в силу неравенства справедливого для положительных α получаем:

а значит, правая часть меньше левой, и неравенство не имеет решений.

Если то В этом случае решений нет, так как правая часть не больше 2.

Тем самым искомыми являются значения Следовательно, и далее как ранее.

 

Задание 18 № 552515

Найдите все значения параметра а, при которых неравенство

выполняется для любого действительного числа х.

Решение.

Заметим, что если то неравенство верно при любом значении параметра a. Рассмотрим случай

При и первое, и второе неравенства системы имеют решения для любого значения переменной, удовлетворяющего условию причем правая часть второго неравенства не меньше правой части первого, а потому и вся система в целом имеет решения.

Таким образом, исходное неравенство выполняется для любого действительного числа х, если

 

Ответ: