Практическая работа № 12
(2 часа)
Тема: Повторные и независимые испытания.
Цель: показать связь независимых испытаний в теории вычислительных машин, теории автоматов, в задачах экономики и т.д.
Теоретическое обоснование.
Если производятся испытания, при которых вероятность появления события А в каждом испытании не зависит от исходов других испытаний, то такие испытания называются независимыми относительно события А.
Вероятность того, что в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события А равна p (где 0 < p < 1), событие А наступит ровно k раз (безразлично, в какой последовательности), находится по формуле Бернулли:
, где 
Случайные события А и В называются независимыми, если вероятность события В не зависит от того, появилось ли событие А или нет.
Вероятность совместного появления двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий.
Задание № 1. Вероятность попадания четырех попаданий при шести выстрелах.
Решение:
Здесь 
. По формуле Бернулли находим
Ответ: 
Задание № 2. Найти вероятность двукратного извлечения белого шара из урны, в которой из 12 шаров имеется 7 белых:
а) вынутый шар возвращается обратно в урну;
б) если вынутый шар в урну не возвращается.
Решение:
Обозначая появление белого шара первый раз символом А и второй раз символом В, будем иметь:
а) события А и В независимы и 
.
Поэтому Р (и А, и В) = 
б) события А и В зависимы и 
, а 
.
Поэтому Р (и А, и В) = 
Задание № 3. Составить закон распределения числа попаданий в цель при 3 выстрелах, если вероятность попадания при одном выстреле равна 0,9.
Решение:
Случайная величина Х – число попаданий в цель при 3 выстрелах – может принимать значения 0, 1, 2, 3, а соответствующие им вероятности находим по формуле Бернулли 
Итак, искомый закон распределения имеет вид:
| Х | ||||
| р | 0,001 | 0,027 | 0,243 | 0,729 |
Ход работы:
| В - 1 | № 1 | № 31 | В - 16 | № 16 | № 46 | |
| В - 2 | № 2 | № 32 | В - 17 | № 17 | № 47 | |
| В – 3 | № 3 | № 33 | В – 18 | № 18 | № 48 | |
| В – 4 | № 4 | № 34 | В – 19 | № 19 | № 49 | |
| В – 5 | № 5 | № 35 | В – 20 | № 20 | № 50 | |
| В – 6 | № 6 | № 36 | В – 21 | № 21 | № 51 | |
| В – 7 | № 7 | № 37 | В – 22 | № 22 | № 52 | |
| В – 8 | № 8 | № 38 | В – 23 | № 23 | № 53 | |
| В – 9 | № 9 | № 39 | В – 24 | № 24 | № 54 | |
| В – 10 | № 10 | № 40 | В – 25 | № 25 | № 55 | |
| В – 11 | № 11 | № 41 | ||||
| В – 12 | № 12 | № 42 | ||||
| В – 13 | № 13 | № 43 | ||||
| В – 14 | № 14 | № 44 | ||||
| В – 15 | № 15 | № 45 |
Решить задачу.
№ 1. На стеллаже библиотеки в случайном порядке расставлено 15 учебников, причем 5 из них в переплете. Библиотекарь берет наудачу 3 учебника. Найти вероятность того, что хотя бы один из взятых учебников окажется в переплете (событие А)
№ 2. Три стрелка стреляют по цели. Вероятность попадания в цель для первого стрелка равна 0,7, для второго – 0,8, для третьего – 0,9. Найти вероятность р того, что в цель попадет хотя бы один стрелок.
№ 3. В квартире 6 электролампочек. Вероятность того, что каждая лампочка останется исправной в течение года, равна 5 / 6. Найти вероятность того, что в течение года придется заменить 2 лампочки.
№ 4. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 1 / 5. Найти вероятность того, что из 10 выстрелов не будет ни одного попадания.
№ 5. Вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0,9. Найти вероятность 5 попаданий при 6 выстрелах.
№ 6. В ящике находятся 80 стандартных и 20 нестандартных деталей. Найти вероятность того, что из 5 взятых наудачу деталей не менее 4 окажутся стандартными.
№ 7. Для нормальной работы станции скорой медицинской помощи требуется не менее 8 автомашин, а их имеется 10. Найти вероятность нормальной работы станции в ближайший день, если вероятность ежедневной неисправности каждой автомашины равна 0,1.
№ 8. В урне 20 шаров: 15 белых и 5 черных. Вынули подряд 5 шаров, причем каждый вынутый шар возвращается в урну и перед извлечением следующего шары в урне тщательно перемешиваются. Найти вероятность того, что из 5 вынутых шаров будет 2 белых.
№ 9. Вероятность того, что расход электроэнергии в техникуме в течение одних суток не превысит установленной нормы, равна 
.Найти вероятность того, что в ближайшие 25 суток расход электроэнергии в течение 20 суток не превысит нормы.
№ 10. Монету подбрасывают 10 раз. Какова вероятность того, что при этом «герб» выпадет 3 раза?
№ 11. Всхожесть семян оценивается вероятностью 0,8. Какова вероятность того, что из 5 посеянных семян взойдет 3?
№ 12. Найти вероятность того, что событие А появится не менее 3 раз в четырех независимых испытаниях, если вероятность появления события А в одном испытании равна 0,4.
№ 13. По мишени производится 100 выстрелов. Каково наивероятнейшее число попаданий, если вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 5/6?
№ 14. По мишени производится 100 выстрелов. Каково наивероятнейшее число попаданий, если вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 1/6?
№ 15. Монету подбрасывают 10 раз. Какова вероятность того, что при этом «герб» выпадет 4 раза?
№ 16. В приборе 4 лампы. Вероятность выхода из строя в течение года для каждой лампы равна 1/6. Какова вероятность того, что в течение года придется заменить не менее половины всех ламп?
№ 17. Вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0,7. Найти вероятность 4 попаданий при 6 выстрелах.
№ 18. Вероятность того, что расход электроэнергии в техникуме в течение одних суток не превысит установленной нормы, равна 
.Найти вероятность того, что в ближайшие 15 суток расход электроэнергии в течение 5 суток не превысит нормы.
№ 19. В квартире 4 электролампочки. Вероятность того, что каждая лампочка останется исправной в течение года, равна 1/2. Найти вероятность того, что в течение года придется заменить 2 лампочки.
№ 20. Всхожесть семян оценивается вероятностью 0,7. Какова вероятность того, что из 12 посеянных семян взойдет 10?
№ 21. Для нормальной работы станции скорой медицинской помощи требуется не менее 6 автомашин, а их имеется 9. Найти вероятность нормальной работы станции в ближайший день, если вероятность ежедневной неисправности каждой автомашины равна 0,1.
№ 22. В ящике находятся 30 стандартных и 20 нестандартных деталей. Найти вероятность того, что из 6 взятых наудачу деталей не менее 4 окажутся стандартными.
№ 23. Три стрелка стреляют по цели. Вероятность попадания в цель для первого стрелка равна 0,2, для второго – 0,4, для третьего – 0,4. Найти вероятность р того, что в цель попадет хотя бы один стрелок.
№ 24. На стеллаже библиотеки в случайном порядке расставлено 20 учебников, причем 15 из них в переплете. Библиотекарь берет наудачу 5 учебника. Найти вероятность того, что хотя бы один из взятых учебников окажется в переплете (событие А)
№ 25. В урне 20 шаров: 10 белых и 10 черных. Вынули подряд 6 шаров, причем каждый вынутый шар возвращается в урну и перед извлечением следующего шары в урне тщательно перемешиваются. Найти вероятность того, что из 6 вынутых шаров будет 3 белых.
Составить закон распределения.
№ 31. Составить закон распределения числа попаданий в цель при 6 выстрелах, если вероятность попадания при одном выстреле равна 0,1.
№ 32. Составить закон распределения числа попаданий в цель при 5 выстрелах, если вероятность попадания при одном выстреле равна 0,2.
№ 33. Составить закон распределения числа попаданий в цель при 7 выстрелах, если вероятность попадания при одном выстреле равна 0,3.
№ 34. Составить закон распределения числа попаданий в цель при 6 выстрелах, если вероятность попадания при одном выстреле равна 0,4.
№ 35. Составить закон распределения числа попаданий в цель при 9 выстрелах, если вероятность попадания при одном выстреле равна 0,2.
№ 36. Составить закон распределения числа попаданий в цель при 5 выстрелах, если вероятность попадания при одном выстреле равна 0,8.
№ 37. Составить закон распределения числа попаданий в цель при 7 выстрелах, если вероятность попадания при одном выстреле равна 0,4.
№ 38. Составить закон распределения числа попаданий в цель при 6 выстрелах, если вероятность попадания при одном выстреле равна 0,9.
№ 39. Составить закон распределения числа попаданий в цель при 6 выстрелах, если вероятность попадания при одном выстреле равна 0,8.
№ 40. Составить закон распределения числа попаданий в цель при 5 выстрелах, если вероятность попадания при одном выстреле равна 0,8.
№ 41. Составить закон распределения числа попаданий в цель при 6 выстрелах, если вероятность попадания при одном выстреле равна 0,25.
№ 42. Составить закон распределения числа попаданий в цель при 6 выстрелах, если вероятность попадания при одном выстреле равна 0,01.
№ 43. Составить закон распределения числа попаданий в цель при 6 выстрелах, если вероятность попадания при одном выстреле равна 0,02.
№ 44. Составить закон распределения числа попаданий в цель при 6 выстрелах, если вероятность попадания при одном выстреле равна 0,03.
№ 45. Составить закон распределения числа попаданий в цель при 6 выстрелах, если вероятность попадания при одном выстреле равна 0,04.
№ 46. Составить закон распределения числа попаданий в цель при 6 выстрелах, если вероятность попадания при одном выстреле равна 0,08.
№ 47. Составить закон распределения числа попаданий в цель при 7 выстрелах, если вероятность попадания при одном выстреле равна 0,01.
№ 48. Составить закон распределения числа попаданий в цель при 8 выстрелах, если вероятность попадания при одном выстреле равна 0,02.
№ 49. Составить закон распределения числа попаданий в цель при 7 выстрелах, если вероятность попадания при одном выстреле равна 0,03.
№ 50. Составить закон распределения числа попаданий в цель при 4 выстрелах, если вероятность попадания при одном выстреле равна 0,1.
№ 51. Составить закон распределения числа попаданий в цель при 8 выстрелах, если вероятность попадания при одном выстреле равна 0,04.
№ 52. Составить закон распределения числа попаданий в цель при 10 выстрелах, если вероятность попадания при одном выстреле равна 0,1.
№ 53. Составить закон распределения числа попаданий в цель при 10 выстрелах, если вероятность попадания при одном выстреле равна 0,01.
№ 54. Составить закон распределения числа попаданий в цель при 10 выстрелах, если вероятность попадания при одном выстреле равна 0,2.
№ 55. Составить закон распределения числа попаданий в цель при 9 выстрелах, если вероятность попадания при одном выстреле равна 0,2.
Контрольные вопросы
1. Вероятность каких событий можно вычислить по формуле Бернулли?
2. Какое распределение называется биномиальным?
3. Напишите формулу Бернулли.
Основные источники (ОИ):
1. Омельченко, В.П. Математика [Текст]: учеб.пособие/В.П.Омельченко, Э.В.Курбатова. – 9-е изд.стер. - Ростов н/Д.: Феникс, 2014. – 380 с.
2. Пехлецкий, И.Д. Математика [Текст]: учеб./ Н.Д.Пехлецкий. – 8-е изд.стер.- М.: Академия, 2011. – 304 с.
Дополнительные источники (ДИ):
1. Дадаян, А. А. Математика [Электронный ресурс]: учеб./ А.А. Дадаян. - 3-e изд. - М.: Форум, 2010. - 544 с. (ЭБС Znanium.com). Режим доступа: https://znanium.com/go.php?id=242366
2. Епихин, В. Е. Алгебра и теория пределов. Элективный курс [Электронный ресурс]: учеб. пособ. / В. Е. Епихин. - 2-е изд. (эл.). - М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2012. - 352 с. (ЭБС Znanium.com). Режим доступа: https://znanium.com/go.php?id=366223