Полулогарифмические модели

Модели вида

ln Y= β₀ + βX + ε, Y= β₀ + βlnX+ ε

называются полулогарифмическими моделями.

Такие модели обычно используются в тех случаях, когда необходимо определить темп роста или прироста каких-либо экономических показателей. Например, при анализе банковского вклада по первоначальному вкладу и процентной ставке, при исследовании зависимости прироста объема выпуска от относительного (процентного) увеличения затрат ресурса, бюджетного дефицита от темпа роста ВНП, темп роста инфляции от объема денежной массы и т.д.

Лог - линейная модель

Рассмотрим зависимость хорошо известную в банковском и финансовом анализе

Y_t=Y₀(1+r)^t, (1)

Где Y₀ – начальная величина переменной Y (например, первоначальный вклад в банке); r – сложный темп прироста величины Y (процентная ставка); Y_t – значение величины Y в момент времени t (вклад в банке в момент времени t). Модель (1) легко сводится к полулогарифмической модели (ln Y= β₀ + βX + ε). действительно прологарифмировав (1), имеем:

Ln Y_t= lnY₀ + t·ln(1+r) (2)

Введем обозначения: ln Y₀= β₀, ln(1+r)=β. Тогда (2) примет вид:

Ln Y_t= β₀ + β_t + ε_t. (3)

В (14) мы использовали дополнительно случайное слагаемое ε_t в силу возможной изменчивости процентной ставки.

Полулогарифмическая модель (ln Y= β₀ + βX + ε) легко сводится к линейной модели заменой Y*=ln Y.

Коэффициент β в модели (ln Y= β₀ + βX + ε) имеет смысл темпа прироста переменной Y по переменной X, т.е. характеризует отношение относительного изменения Y к абсолютному изменению X. Действительно, продифференцировав (ln Y= β₀ + βX + ε) по Х, имеем:

1/Y·dY/dX=β → β=dY/Y/dX=относительное изменение Y/абсолютное изменение Х.

Умножив β на 100, получим процентное изменение переменной Y(темп прироста переменной Y). Поэтому полулогарифмическая модель (ln Y= β₀ + βX + ε) обычно используется для измерения темпа прироста экономических показателей. Заметим, что из соотношения β=ln(1+r) определяется темп прироста r показателя Y:

1+r = e^β → r= e^β-1. (4)

Отметим, что коэффициент β в (3) определяет мгновенный темп прироста, а r в (4) определяет обобщенный (сложный) темп прироста. Поэтому в общем случае они отличаются друг от друга.

Линейно – логарифмическая модель

Рассмотрим так называемую линейно – логарифмическую модель

Y= β₀ + βlnX+ ε (1)

Она сводится к линейной модели заменой X*= ln X. В данной модели коэффициент β определяет изменение переменной Y вследствие единичного относительного прироста X (например, на 1%), т.е. характеризует отношение абсолютного изменения Y к относительному изменению X. Действительно, продифференцировав (1), имеем:

dY/dX=β·1/X → β=dY/ dX/X= абсолютное изменение Y /относительное изменение X → dY= β=dX/X → ∆Y ≈ β·∆X/X.

Умножив последнее соотношение на 100, получим абсолютный прирост Y при процентном изменении Х. таким образом, если ∆X/X изменилось на 1% (0,01), то Y изменилось на 0,01·β.

Модель (Y= β₀ + βlnX+ ε) используется обычно в тех случаях, когда необходимо исследовать влияние процентного изменения независимой переменной на абсолютное изменение зависимой переменной.

Например, если положить Y=GNP (валовой национальный продукт), а Х=М (денежная масса), то получим следующую формулу:

GNP= α + βlnM + ε,

из которой следует, что если увеличить предложение денег М на 1%, то ВНв среднем возрастет на 0,01·β.

Обратная модель

Модель вида

Y= β₀ + β₁·1/X+ ε

называется обратной моделью. Эта модель сводится к линейной заменой Х*=1/Х. данная модель обычно применяется в тех случаях, когда неограниченное увеличение объясняющей переменной Х асимптотически приближает зависимую переменную Y к некоторому пределу (в данном случае к β_0). В зависимости от знаков β₀ и β₁ возможны ситуации.

X

X

X

Y

Y

Y

β0

β0

β0>0 β1>0

β0>0 β1<0

β0<0 β1>0

а

в

б

-β1/β0

Может отражать зависимость между объемом выпуска (Х) и средними фиксированными издержками (Y). На графике, б – зависимость между доходом Х и спросом на благо Y (например, на товары первой необходимости либо на товары относительной роскоши); это так называемые функции Торнквиста (в этом случае Х= -β_1/β₀ - минимально необходимый уровень дохода). Важным приложением графика, изображенного на рисунке, в, является кривая Филипса, отражающая зависимость между уровнем безработицы (Х) в процентах и процентным изменением заработной платы (Y). При этом точка пересечения с осью 0Х определяет естественный уровень безработицы.

Степенная модель

Степенная функция вида

Y=β₀ + β₁X + β₂X² + … + β_mX^m + ε (1)

часто отражает ту или иную экономическую зависимость. Например, кубическая функция

Y=β₀ + β₁X + β₂X² + β₃X³ + ε (2)

в макроэкономике моделирует зависимость общих издержек (ТС) от объема выпуска (Q) (рис. 7.3, а).

Y=β₀ + β₁X + β₂X² + ε (3)

может отражать зависимость между объемом выпуска (Q) и средними (АС) либо предельными (МС) издержками; или между расходами на рекламу (С) и прибылью (π) и т.д.

 

Q

Q

C

TC

TC

FC

AC MC

а

б

в

 

Как и ранее рассмотренные модели, модель (1) является линейной относительно коэффициентов регрессии β₀, β₁, …, β_m. Следовательно, ее можно свести к линейно регрессионной модели. Заменяя Х на X₁, X² на Х₂, …, X^m на X_m, получаем вместо (1) модель множественной линейной регрессии с m переменными X₁, Х₂, …, X_m:

Y=β₀ + β₁X₁ + β₂X₂ + … + β_mX_m + ε (4)

Показательная модель

Показательная функция

Y=b₀e^βx (1)

Также достаточно широко применяется в эконометрическом анализе (здесь е=2,7182818…). Наиболее важным ее приложением является ситуация, когда анализируется изменение переменной Y с постоянным темпом прироста во времени. В этом случае переменная Х символически заменяется переменной t:

Y=b₀e^βt (2)

Данная функция путем логарифмирования (ln e^βt = βt) сводится к лог – линейной модели (14):

Ln Y= ln β₀ + β_t. (3)

Заметим, что в общем виде показательная функция имеет вид:

Y= β₀ a ^βx , (4)

где а – произвольная положительная константа (а ≠ 1). Но данная функция сводится к (1) вследствие тождества a ^βx = e^{βХln a} .

Ряд экономических показателей моделирует через функции, являющиеся композицией перечисленных функций, что позволяет их также свести к линейным. Например широко известная производственная функция Кобба-Дугласа с учетом научно – технического прогресса:

Y= AK^α L^βe ^{y t} . (5)

Прологарифмировав данную функцию, получим соотношение:

Ln Y= lnA + αlnK + βlnL + γt, (6)

Которое сводится к линейному заменами

а = lnA, к = lnK, l = lnL, у = lnY.

Выбор формы модели.

Во многих практических случаях моделирование экономических зависимостей линейными уравнениями дает вполне удовлетворительный результат и может использоваться для анализа и прогнозирования. Однако в силу однообразия и сложности экономических процессов ограничиться рассмотрением лишь линейных регрессионных моделей невозможно. Многие экономические зависимости не являются линейными по своей сути, и поэтому их моделирование линейными уравнениями регрессии, безусловно, не даст положительного результата. Например, при рассмотрении спроса Y на некоторый товар от цены X данного товара в ряде случаев можно ограничиться линейным уравнением регрессии: Y=β₀+β₁X. Здесь β₁ характеризует абсолютное изменение Y (в среднем) при единичном изменении X. Если же мы хотим проанализировать эластичность спроса по цене, то приведенное уравнение не позволит это осуществить. В этом случае целесообразно рассмотреть так называемую логарифмическую модель

При анализе издержек Y от объема выпуска X наиболее обоснованной является полиноминальная (точнее, кубическая) модель При рассмотрении производственных функций линейная модель является нереалистичной. В этом случае обычно используются степенные модели. Например, широкую известность имеет производственная функция Кобба-Дугласа Y=AK^αL^β (здесь Y – объем выпуска; K и L – затраты капитала и труда соответственно; A, α и β – параметры модели).

Достаточно широко применяются в современном эконометрическом анализе и многие другие модели, в частности обратная и экспоненциальная модели.