Первоначальное понятие о многогранниках.
Многогранники и их элементы.
Проблемы нам создают не те вещи,
которых мы не знаем, а те, о которых мы
ошибочно полагаем, что знаем.
В. Роджерс
| Определение. Многогранником называется тело, поверхность которого является объединением конечного числа многоугольников. В соответствии с общим определением выпуклого множества, многогранник является выпуклым[1], если вместе с любыми двумя своими точками он содержит соединяющий их отрезок. На рисунке показаны выпуклый и, соответственно, невыпуклый многогранники. | |||
| Многоугольник, принадлежащий поверхности многогранника, называется его гранью, если он не содержится ни в каком другом многоугольнике, также принадлежащем поверхности многогранника. Стороны граней называются рёбрами многогранника, а вершины – вершинами многогранника. Отрезки, соединяющие вершины многогранника, не принадлежащие одной грани, называются диагоналями этого многогранника. | |||
| Определение. Многогранник называется правильным, если все его грани – равные правильные многоугольники и из каждой его вершины выходит одинаковое число рёбер. | |||
| Грани | Вершины | Рёбра | |
| Тетраэдр | |||
| Куб | |||
| Октаэдр | |||
| Додекаэдр | |||
| Икосаэдр | |||
| Призма n-угольная | 2n | 3n | n+2 |
| Пирамида n-угольная | n+1 | 2n | n+1 |
| Теорема Эйлера. | Для числа граней Г, числа вершин В и числа рёбер Р любого выпуклого многогранника справедливо соотношение: Г+В – Р=2 | ||
| Принцип Кавальери: | Если два тела могут быть расположены так, что любая плоскость, параллельная какой-нибудь данной плоскости и пересекающая оба тела, даёт в сечении с ними равновеликие фигуры, то объёмы таких тел равны. |
Призма.
| Определение. Призма – многогранник, составленный из двух равных многоугольников A1A2…An и B1B2…Bn, расположенных в параллельных плоскостях, и n параллелограммов. | |
| Два равных многоугольника, лежащие в параллельных плоскостях, называются основаниями призмы (A1A2…An и B1B2…Bn). | |
| Остальные грани призмы, являющиеся параллелограммами, называются её боковыми гранями (AnA1B1Bn) | |
| Рёбра, не лежащие в основании призмы, называются боковыми рёбрами (A1B1; A2B2 … AnBn) | |
| Перпендикуляр, проведённый из какой-нибудь точки одного основания к плоскости другого основания, называется высотой призмы (h). | |
| Диагональная плоскость – плоскость, проходящая через диагональ основания и боковое ребро призмы. | |
| Диагональное сечение – фигура, полученная при пересечении диагональной плоскости с поверхностью призмы. | |
| Перпендикулярное сечение – сечение призмы плоскостью, перпендикулярной её боковым рёбрам. | |
| В призму можно вписать сферу тогда и только тогда, если в перпендикулярное сечение призмы можно вписать окружность, диаметр которой равен высоте призмы. | |
| Если боковые рёбра призмы перпендикулярны к основаниям, то есть если основания служат нормальными сечениями боковой поверхности, то призма называется прямой, в противном случае – наклонной. Высота прямой призмы равна её боковому ребру. Плоские углы основания являются плоскими углами двугранных углов между боковыми гранями. | |
| Прямая призма называется правильной, если её основания – правильные многоугольники. У такой призмы все боковые грани – равные многоугольники. В правильную призму можно вписать сферу тогда и только тогда, когда её высота равна диметру окружности, вписанной в основание. | |
| Площадь боковой поверхности призмы – это сумма площадей всех её боковых граней. | Sбок=Рп* / g /, где Рп – периметр перпендикулярного сечения, / g / - длина бокового ребра |
| Площадь полной поверхности призмы – сумма площадей всех её граней | Sполн=Sбок+2Sосн |
| Объём призмы. Объёмом геометрического тела называется величина части пространства, занимаемого этим телом. Доп. справка: в геометрии принято: · За единицу объёма принимают объём куба с ребром единичной длины. · Равные тела имеют равные объёмы · Объём объединения нескольких неперекрывающихся (т.е. не имеющих общих внутренних точек) тел равен сумме их объёмов · Если одно тело содержит другое, то объём первого тела не меньше объёма второго | V=Sосн*h |
| Теорема.Площадь боковой поверхности прямой призмы равна произведению периметра основания на высоту призмы. | Sбок=Pосн*h |
| Частным случаем призмы является параллелепипед – призма, основанием которой служат параллелограммы. | |
| Основные свойства параллелепипеда: | 1. Противоположные грани параллелепипеда попарно равны и параллельны. 2. Все четыре диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся ею пополам. 3. сумма квадратов всех диагоналей параллелепипеда равна сумме квадратов всех его рёбер. 4. квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трёх его измерений. |
| Если все грани параллелепипеда являются прямоугольниками, то параллелепипед называется прямоугольным. В нём все диагонали равны между собой. Если боковые рёбра параллелепипеда перпендикулярны основанию, то параллелепипед является прямым. Куб также является частным случаем призмы. Куб есть прямоугольный параллелепипед с равными рёбрами. | |
| Объём параллелепипеда | V=S*h |
| Объём прямоугольного параллелепипеда | V=abc |
| Объём куба | V =a3 |
| Диагональ прямоугольного параллелепипеда | d2=a2+b2+c2, где d – диагональ, a,b,c – рёбра |
Пирамида.
Слово «пирамида» в геометрию ввели греки,